كيفية اشتقاق القيمة المطلقة

درسنا اليوم عن اشتقاق القيمة المطلقة للتابع بالاضافة إلى التكامل. لا يمكن اشتقاق دالة القيمة المطلقة بشكل مباشر كما في حالات الاشتقاق العادية. حيث تتغير قيمة التابع وفقا للمجال. إليكم بعض الأمثلة التي توضح طريقة الاشتقاق.

ماذا هو تابع القيمة المطلقة

إذا كان لدينا تابع القيمة المطلقة على سبيل المثال:

\[ y = | x | \]

هذا يعني أن قيمة y هي القيمة الفعلية لـx إذا كانت x أكبر أو تساوي الصفر. بينما تكون قيمة y هي قيمة x مضروبة بـ -1 إذا كانت قيمة x أصغر من الصفر.

مشتق القيمة المطلقة

لنأخذ الآن أبسط مثال عن اشتقاق القيمة المطلقة وهو مشاق القيمة المطلقة لـ x:

لنفرض لدينا التابع التالي:

\[ y = | x | \]

كيف نجد مشتق هذا التابع؟

لا يمكننا العمل على |x|. لذا نحن نعرف أن \( | x | = \sqrt{x^2} \) وبالتالي:

\[ y = (x^2)^{\frac{1}{2}}\]

الآن نقوم بالاشتقاق حسب القاعدة العامة لمشتق الحد:

\[ \frac{d}{dx}(Y^n) = n×Y^{n-1}×Y’ \]

يمكنك الاطلاع على مقال قواعد الاشتقاق للاطلاع على كافة القواعد.

وبالتالي يكون الاشتقاق

\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(x^2)^{-\frac{1}{2}} \bullet 2x\\
= \frac{1}{2 \sqrt{x^2} } \bullet 2x\\
بالاختصار\\
\frac{dy}{dx} =\frac{x}{\sqrt{x^2} }\\
\frac{dy}{dx} =\frac{x}{| x |}\]

وبالتالي نستنتج أن مشتق القيمة المطلقة للتابع y=|x| غير معرف عندما x=0

الآن لنتدرج في الصعوبة ونحاول إيجاد مشتق حد بالقيمة المطلقة وليس x فقط.

مشتق تابع بالقيمة المطلقة

أوجد مشتق القيمة المطلقة للتابع التالي:

\[y = 3x+1\]

الحل: إن تابع القيمة المطلقة هو:

\[y = |3x+1|\]

لنفرض:

\[u=3x+1\]

وبالتالي يكون مشتق u

\[\frac{du}{dx}=3\]

الآن لدينا \(y=|u|\) باستخدام قاعدة السلسة في الاشتقاق يكون مشتق y بالنسبة لـx:

\[\frac{dy}{dx}= \frac{dy}{du} . \frac{du}{dx}\\
= \frac{u}{|u|}.3= \frac{3u}{|u|}\]

نقوم بتعويض قيمة u

\[\frac{dy}{dx}=\frac{3(3x+1)}{|3x+1|}\\
\frac{dy}{dx}=\frac{9x+3}{|3x+1|}\]

مثال عن اشتقاق دالة بالقيمة المطلقة

لنأخذ مثالا أكثر صعوبة, أوجد مشتق تابع القيمة المطلقة التالي:

\[y = |(3 x^3 + 2 x)^3|\]

أولا يمكننا كتابة التابع بشكل مبسط

\[y=\left(3x^{3} + 2x\right)^{2} \left|3x^{3} + 2x\right|\]

وبالتالي:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[(3x^{3} + 2x)^{2} |3x^{3} + 2x|]\\
using \ rule \ {\frac{d}{dx}(y.z)=y’ . z+z’ . y}\\
\frac{d}{dx}[(3x^{3} + 2x)^{2}].|3x^{3} + 2x| + \frac{d}{dx}|3x^{3} + 2x|.[(3x^{3} + 2x)^{2}]\]

وباشتقاق كل حد:

ويمكن الكتابة بعد الاختصار

\[\left(81x^{5} + 72x^{3} + 12x\right) \left|3x^{3} + 2x\right|\]

تكامل تابع القيمة المطلقة

التكامل عكس الاشتقاق كما نعلم. وبما أن تابع القيمة المطلقة تتغير قيمته وفقاً لمجال التكامل. يكون للتابع مجالين للتكامل:

\[if \ x>0, |x|=x\\
and \ if \ x<0, |x|=-x\]

وبالتالي إذا تم تكامل |x| في المجال الموجب تكون النتيجة:

\[\int |x|dx= \frac{1}{2}(x^2)+c \ \cdots \text{ if } x \geq 0\]

وبالتالي إذا تم تكامل |x| في المجال السالب تكون النتيجة:

\[\int |x|dx= -\frac{1}{2}(x^2)+c \ \cdots \text{ if } x < 0\]