طريقة ضرب المصفوفات مع الأمثلة

سنتعلم في هذا الدرس خطوة بخطوة كيفية ضرب المصفوفات بالتفصيل مع أمثلة محلولة وتمارين مختلفة.
ولكن لنبدأ اولا بالسهل, وهو ضرب المصفوفة بعدد حقيقي.

إقرأ المزيد حول جمع المصفوفات.

ضرب المصفوفة بعدد حقيقي

عندما نضرب مصفوفة ما بعدد. نقوم بضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة بهذا العدد.

مثال لتكن المصفوفة A

A =

2 9 3 4

أوجد ناتج ضرب المصفوفة بالعدد 3

3×A=

نلاحظ أن المصفوفة الناتجة لها نفس عدد أسطر المصفوفة A (سطرين) ونفس عدد الأعمدة أيضاً (عمودين). الأمر سهل هو مجرد تدريب على الضرب التقليدي.

تمرين: أوجد ناتج ضرب المصفوفة Z بالعدد -2

Z =	4 9 5 -2 1 0.4

-2×Z=

—	—
—	—
—	—

والآن نأتي إلى الأهم إلى السبب الذي أتى بك إلى هذا المقال وهو ضرب المصفوفات ببعضها.

ضرب المصفوفات

إن عملية ضرب المصفوفات تحتاج إلى تركيز في عدة أمور. منها عمليات الضرب الكثيرة والجمع الذي يتخللها. وكذلك موضع الأسطر والأعمدة في المصفوفة الناتجة.

تتم عملية الضرب من خلال ضرب كل سطر من المصفوفة الأولى بكل عمود من المصفوفة الثانية أي كل سطر من الأولى يجب أن يضرب بجميع أعمدة الثانية.

فمثلا لو كان في المصفوفة الأولى 2 سطر والثانية 2 عمود فلدينا 4 عمليات ضرب هي:

1. السطر الأول من الأولى × العمود الأول من الثانية
2. السطر الأول من الأولى × العمود الثاني من الثانية
3. السطر الثاني من الأولى × العمود الأول من الثانية
4. السطر الثاني من الأولى × العمود الثاني من الثانية

ولكن كيف يتم ضرب السطر بالعمود؟

يتم ذلك بضرب كل عنصر من سطر المصفوفة الأولى بالعنصر المقابل في عمود الثانية. مثلا لو كان لدينا السطر Row و العمود Col من احدى المصفوفات:

Row × Col =

1×5 + 2×6 + 3×8

العنصر 1 من السطر × العنصر 1 من العمود + العنصر 2 من السطر × العنصر 2 من العمود …الخ

انظر لعملية ضرب المصفوفتين التالية: قم بالضغط على عناصر المصفوفة A×B ليظهر لك الاسطر والاعمدة المضروبة باللون الأحمر.

A×B=?

A×B =

1×5+2×8 1×7+2×6 3×5+4×8 3×7+4×6

طريقة ضرب المصوفات بالتفصيل

لنسمي المصفوفة الناتجة C مثلا. وهي مصفوفة فيها سطرين وعمودين. Cn×m = C_2×2.

1. نضرب عناصر السطر الأول لـA مع عناصر العمود الأول لـB ونجمع النتائج
   C₁₁= 1×5+2×8 = 21
   ينتج العنصر C_ij = C₁₁ حيث i يشير إلى رقم الصف و j إلى رقم العمود أي C₁₁ يقع في السطر الاول والعمود الأول.
2. نضرب عناصر السطر الأول لـA مع عناصر العمود الثاني لـB ونجمع النتائج
   C₁₂= 1×7+2×6 = 19
3. نضرب عناصر السطر الثاني لـA مع عناصر العمود الأول لـB ونجمع النتائج
   C₂₁= 3×5+4×8 = 47
4. نضرب عناصر السطر الثاني لـA مع عناصر العمود الثاني لـB ونجمع النتائج
   C₂₂= 3×7+4×6 = 45

C =	C1,1 C1,2 C2,1 C2,2

إليكم مجموعة أمثلة حتى تكتمل الصورة.

مثال على ضرب المصفوفات. لتكن المصفوفتين A و B أوجد ناتج ضرب المصفوفتين.

A×B=?

1×1+2×5+5×6	1×4+2×2+5×0
7×1+6×5+2×6	7×4+6×2+2×0

=	41 8 49 40

تمرين: اختر (صواب) أو (خطأ) للعبارة الأتية: حل المعادلة المصفوفية a · x = b هو x = b · a - 1

شرط ضرب المصفوفات

نلاحظ أنه تم ضرب كل عنصر من سطر مع العنصر المقابل من عمود. وبالتالي نستنتج أنه يجب أن تكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى = عدد أسطر المصفوفة الثانية. وإلا لو اختلف الشرط السابق لن نجد لأحد العناصر عنصر مقابل لنضربه به فيما لو قل عدد الأعمدة للأولى عن اسطر الثانية.

شرط ضرب المصفوفات هو أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى = عدد أسطر المصفوفة الثانية

وبما أننا قلنا المصفوفة الأولى والثانية. نستنتج أن ضرب المصفوفات ليس تبديلي. ويمكن برهنة ذلك بسهولة.

أوجد ناتج ضرب المصفوفتين A×B

عدد أعمدة المصفوفة الأولى = 3
عدد أسطر المصفوفة الثانية = 2
بالتالي لا يمكن ضرب المصفوفتين A و B لأن عدد أعمدة المصفوفة الأولى لا يساوي عدد أسطر الثانية.

لاحظ: عدد أعمدة المصفوفة الثانية (2) = عدد أسطر الأولى (2) وبالتالي يمكن إجراء عملية الضرب B×A ولكن لا يمكن إجرا ء A×B!

مثال تدريبي: لتكن المصفوفتين A و B. أوجد حاصل ضرب الأولى بالثانية. (ستظهر إشارة ✓ إذا كان جوابك صحيحاً)

أدخل عدد صفوف وأعمدة المصفوفة الناتجة

--

---

يمكنك التأكد من الحل من خلال حاسبة ضرب المصفوفات

تمارين حول ضرب المصفوفات

لم ننته بعد من شرح ضرب المصفوفات. لتكن المصفوفتين C_3×2 و U_2×3. لنجرب ضرب C*U

أولا لنتحقق من شرط ضرب المصفوفات

• عدد أعمدة المصفوفة الأولى 2
• عدد أسطر المصفوفة الثانية 2

بالتالي عملية الضرب ممكنة بسبب تساوي أعمدة الأولى مع اسطر الثانية.

لنفرض المصفوفة الناتجة S فيكون:

أولا نضرب السطر الأول لـC مع كل عمود من المصفوفة ‘الثانية ’ U

• S₁₁ =6×1+2×3 =12
• S₁₂ = 6×3+2×2 = 22
• S₁₃ = 6×5+2×1 = 32

ينتج لنا أول سطر من المصفوفة الناتجة [12 22 32]. ثم نتابع بضرب السطر الثاني من المصفوفة الأولى مع كافة أعمدة المصفوفة الثانية

S1,1	S1,2	S1,3
?	?	?
?	?	?

• S₂₁ = 2×1+1×3 = 5
• S₂₂ = 2×3+1×2 = 8
• S₂₃ = 2×5+1×1 = 11

ينتج لنا ثاني سطر من المصفوفة الناتجة [5 8 11]. ثم نتابع بضرب السطر الثالث من المصفوفة الأولى مع كافة أعمدة المصفوفة الثانية

S1,1	S1,2	S1,3
S2,1	S2,2	S2,3
?	?	?

• S₃₁ = 4×1+3×3 = 13
• S₃₂ = 4×3+3×2 = 18
• S₃₃ = 4×5+3×1 = 23

ينتج لنا ثالث سطر من المصفوفة الناتجة [13 18 23].

S1,1	S1,2	S1,3
S2,1	S2,2	S2,3
S3,1	S3,2	S3,3

ماذا نستنتج؟

نستنتج أن المصفوفة الناتجة لها عدد أسطر الأولى 3 ولها عدد أعمدة الثانية 3

المصوفة الناتجة S3×3 حيث توضح S₁, S₂, S₃ أرقام الاعمدة

	S1	S2	S3
1	12	22	32
2	5	8	11
3	13	18	23

تمرين: أوجد ناتج ضرب المصفوفتين A×B

أدخل عدد صفوف وأعمدة المصفوفة الناتجة

--	--	--	--
--	--	--	--

خواص ضرب المصفوفات

لضرب المصفوفات مجموعة من الخواص يجب معرفتها وهي:

1. ضرب المصفوفات غير تبديلي بالضرورة
2. ضرب المصفوفات تجميعي
3. ضرب المصفوفات تجميعي
4. الضرب بالمصفوفة الصفرية دائما يعطي مصفوفة صفرية
5. الضرب بالمصفوفة الواحدية يعطي المصفوفة نفسها
6. في ضرب المصفوفات لا يمكن الاختصار

ضرب المصفوفات غير تبديلي بالضرورة

أولا ضرب المصفوفات ليس تبديلي. أي أن A×B ≠ B×A بالضرورة. لنجرب مثال ما.

A×B =

7	18
21	26

B×A =

31	43
6	2

قلنا ليس تبديلي بالضرورة أي قد يكون A×B = B×A إلا أن ذلك هو محض صدفة. فعلى سبيل المثال إذا كانت أحدى المصفوفتين المضروبتين مربعة والأخرى مصفوفة واحدية يكون الضرب تبديليا:

=

4 1 9 6

كما أن جداء أي مصفوفتين قطريتين تبديلي. ولكن بشكل عام ضرب المصفوفات غير تبديلي.

اطلع على مقال أنواع المصفوفات لمعرفة معنى المصفوفة القطرية.

ضرب المصفوفات تجميعي

إن ضرب المصفوفات تجميعي. لنفترض لدينا ثلاث مصفوفات تحقق شروط الضرب فإن: A×(B×C) = (A×B)×C = A×B×C.

مثال: لتكن المصفوفات الثلاث A, B, C. أوجد (A×B)×C ثم أوجد A×(B×C) واكتب لنا النتائج في التعليقات. هل النتائج هي نفسها؟

ضرب المصفوفات توزيعي على الجمع

إن عملية ضرب المصفوفات توزيعية على الجمع من اليمين واليسار. مثلا لنفرض 4 مصفوفات A, B, C, D فإن العمليات التالية صحيحة:

A × (B + C) = A × B + A × C
(D + B) × C = D × C + B × C

الضرب بالمصفوفة الصفرية دائما يعطي مصفوفة صفرية

ضرب أي مصفوفة بالمصفوفة الصفرية يعطي مصفوفة صفرية جديدة. مثلا:

ملاحظة: قد يكون ناتج ضرب مصفوفتين غير صفريتين هو مصفوفة صفرية. وبالتالي لا تقارن المصفوفة الصفرية بالنسبة لضرب المصفوفات بتأثير الصفر في عمليات الضرب الجبرية التقليدية.

الضرب بالمصفوفة الواحدية يعطي المصفوفة نفسها

إن ضرب أي مصفوفة (وفق شروط الضرب طبعا) بالمصفوفة الواحدية يعطي المصفوفة نفسها. وسواء من اليمين أو اليسار أي:

I_ii × A_ij = A_ij
A_ij × I_jj= A_ij

المصفوفة الواحدية لا تكون إلا مربعة أي عدد الاسطر = عدد الأعمدة.

في ضرب المصفوفات لا يمكن الاختصار

على فرض لدينا العلاقة التالية وهي صحيحة:

هذا لا يعني بالضرورة أن Yn,p = zn,p محققة.

رفع المصفوفة إلى قوة

يمكن رفع المصفوفة إلى قوة. لينتج عن تلك العملية عملية ضرب المصفوفة بنفسها حسب درجة الأس. مثلا:

A³ = A×A×A

ولكن بطبيعة الحال لا يمكن رفع المصفوفات إلى قوة إلا إذا كانت مربعة. وذلك من اجل تحقيق شرط ضرب المصفوفات.

وعندما نرفع المصفوفة إلى الصفر فإن الناتج هو المصفوفة الواحدية:

A⁰ = I

اما بخصوص الأس السالب فإنه يتبع نفس القواعد التقليدية مثل:

A^-4 = (A^-1)⁴

طبعاً بشرط وحيد هو أن تكون المصوفة A قابلة للعكس. حيث نوجد معكوس المصفوفة ثم نضربها بنفسها 4 مرات