حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية

نقدم لكم اليوم تمارين متنوعة على حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية بالاضافة إلى كتاب حل المعادلات الاسية pdf. لطلاب الاعدادية والثانوية والصف والتاسع والعاشر ومختلف الصفوف.

لنبدأ اولا بتذكرة بسيطة حول الأسس واللوغاريتم لتوضيح بعض المفاهيم. لنفرض لدينا 23=8 هذا يعني أن 3 تساوي لوغاريتم 8 بالنسبة للأساس 2 أو 3 = log2(8) ويمكننا القول أن القاعدة العامة تقول:

if bx = n then x = logb.

الان لنعمم المسألة. لنفرض 102 = 100 هذا يعني أن 2 = log10(100) كما نرى فهو لوغاريتم ذا أساس 10. وهو من اللوغاريتمات الشائعة لذا اصطلح على كتابته بالشكل log(n) بدون ذكر الأساس 10.

ومن اللوغاريتمات الشائعة التي يتم التعامل معها في المعادلات الرياضية هي اللوغاريتم النيبري. الذي يكون الأساس فيه هو العدد النيبري e ≅ 2.71828 ويكتب بالشكل ln(n).

وقبل البدء بتمارين حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية سنستعرض أهم خصائص اللوغاريتمات.

خصائص اللوغاريتمات

إليكم ملخص سريع لأهم قوانين وقواعد وخصائص اللوغاريتمات.

الحالة	القانون
الجداء Products	logb m*n = logb m + logb n
القسمة Ratios	logb m/n = logb m − logb n
القوة Power	logb mn = n.logb m
الجذر Roots	logb n√m = (1/n).logb m

الان يمكننا البدء بحل المسائل الأسية واللوغاريتمية.

تمارين حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية

1. التمرين الأول

اوجد حل المعادلة الأسية التالية:

$${8^{x-2}=\sqrt{8}}$$

الحل: بسبب تساوي الأساس في الطرفين (8) يمكننا ان نكتب في معادلتنا:

$${8^{x-2}=8^{\frac{1}{2}}}$$

بتطبيق قواعد الأسس يكون

$${x-2=\frac{1}{2}\\
x=\frac{5}{2}}$$

2. التمرين الثاني

أوجد حل المعادلة الأسية:

$${10^{1-3x}=10^6}$$

الحل بنفس الطريقة السابقة:

$${1-3x=6\\
x=-\frac{5}{3}
}$$

3. التمرين الثالث

لتكن المعادلة الأسية التالية:

$${5^x=212}$$

الحل: نأخذ لوغاريتم الطرفين:

$${\ln \:\left(5^x\right)=\ln \:\left(212\right)\\
x\ln \left(5\right)=\ln \left(212\right) :\ \ln \left(y^x\right)=x.\ln \left(y\right)\\
x=\frac{\ln \left(212\right)}{\ln \left(5\right)}\\
\mathrm{Decimal}: x=3.3282\dots
}$$

4. تمرين لوغاريتمي

أوجد حل المعادلة الأسية اللوغاريتمية التالية:

$${2e^x+5=115
}$$

الحل: بطرح 5 من الطرفين:

$${
2e^x+5-5=115-5\\
2e^x=110\\
\mathrm{نقسم\:الطرفين\:على\:2}\\
\frac{2e^x}{2}=\frac{110}{2}\\
e^x=55
}$$

بتطبيق قواعد اللوغاريتم. نأخذ لوغاريتم الطرفين فيكون:

$${
x=\ln \left(55\right)\\
\mathrm{Decimal}: x=4.0073\dots
}$$

5. التمرين الخامس

اوجد حل المعادلة الاسية التالية:

$${
6^{3x}=2^{2x-3}
}$$

بأخذ لوغاريتم الطرفين:

$${
ln\left(6^{3x}\right)=ln\left(2^{2x-3}\right)\\
3x\ln \left(6\right)=\left(2x-3\right)\ln \left(2\right)\\
3x\ln \:\left(2\cdot 3\right)=\left(2x-3\right)\ln \:\left(2\right)\\
3xln 2+3xln 3=2xln2-3ln 2\\
x\ln \left(2\right)+3x\ln \left(3\right)=-3\ln \left(2\right)\\
x\left(\ln \:\left(2\right)+3\ln \left(3\right)\right)=-3\ln \left(2\right)\\
x=-\frac{3\ln \left(2\right)}{\ln \:\:\left(2\right)+3\ln \:\left(3\right)}
}$$

لنحسب المقام:

$${\ln \:\left(2\right)+3\ln \left(3\right)=\ln \left(2\right)+\ln \left(3^3\right)\\
\ln \left(2\right)+\ln \left(27\right)=\ln \:\left(27* 2\right)
}$$

وبالتالي تكون قيمة x

$${
x=-\frac{3\ln \left(2\right)}{\:\ln \left(54\right)}\\
\mathrm{Decimal} : x=-0.5212\dots
}$$

6. التمرين السادس

أوجد حل المعادلة الأاسية التالية:

$${3^x=9^{x+5}}$$

الحل: نحاول دائما أن نجعل الأساس متساوي من أجل ايجاد x. حيث ان

$${3^x=9^{x+5} :\ 9=3^2\\
3^x=3^{2(x+5)}\\
\Rightarrow x=2(x+5)\\
x=-10
}$$

7. التمرين السابع

قم بحل المعادلة اللوغاريتمية التالية:

$${5\:+\:8\:e^{1\:-\:4x}\:=\:7
}$$

اولا نقوم بإصلاح المعادلة:

$${5\:+\:8\:e^{1\:-\:4x}\:=\:7\\
5+8e^{1-4x}-5=7-5\\
8e^{1-4x}=2\\
e^{1-4x}=\frac{1}{4}
}$$

نقوم باخذ اللوغاريتم الطبيعي (النيبري) للطرفين لأن لدينا e في المعادلة. نحاول أن نعزل x

$${
ln(e^{1-4x})=ln(\frac{1}{4})\\
(1-4x)ln(e)=ln(\frac{1}{4}):\ ln(e)=1
}$$

بتطبيق قاعدة القوى roots للوغاريتمات يكون

$${
\Rightarrow (1-4x)=ln(\frac{1}{4}) \\
x=\frac{2\ln \left(2\right)+1}{4}
}$$

8. التمرين الثامن

لتكن لدينا المعادلة التالية:

$${
{10^{{x^2} – x}} = 100
}$$

الحل: بما أن المعادلة اللوغاريتمية تحتوي الرقم 10. يمكننا الان التفكير بأخذ اللوغاريتم العشري (ذو الأساس 10) من أجل الاختصار وعزل x. لناخذ لوغاريتم الطرفين

$${
log(10^{{x^2} – x}) = log(10^2)
}$$

الآن وفقا لقانون القوى الخاص باللوغاريتمات نكتب:

$${
(x^2-x)log10=2 \times log10\\
\Rightarrow x^2-x = 2
}$$

الآن وصلنا إلى معادلة بسيطة من الدرجة الثانية يمكن حلها بالتحليل أو باستخدام المحدد دلتا. وتكون الحلول: x = 2, x = -1.

9. التمرين التاسع

حل المعادلة اللوغاريتمية التالية:

$${
x – x{{\bf{e}}^{3x + 5}} = 0
}$$

الحل: كالعادة نحاول عزل x من أجل أيجاد قيمتها. لنخرج x كعامل مشترك كالتالي:

$${
x(1-{\bf{e}^{3x + 5}})=0
}$$

إياك والتقسيم على x لأنك ستتجاهل حلا من حلول المعادلة. وكما نرى لدينا حدان جداؤهما صفر. إما x = 0 أو 1-e3x+5 = 0 الحد الثاني يحتاج لايجاد قيمة x فيه:

\begin{align*}{{\bf{e}}^{5x + 2}} & = 1\\ 5x + 2 & = \ln 1\\ 5x + 2 & = 0\\ x & = – \frac{2}{5}\end{align*}

لا تنس أن ln 1 = 0. وبالتالي تكون مجموعة حلول المعادلة الأأسية هي: x = 0 , x = -5/2

10. التمرين العاشر

قم بايجاد حل المعادلة الأأسية اللوغاريتيمية التالية:

$${4{{\bf{e}}^{1 + 3x}} – 9{{\bf{e}}^{5 – 2x}} = 0}$$

سنحاول هنا نقل أحد الحديث للطرف الثاني من المعادلة. ثم نقسم الحد الحاوي على e على نظيره ونقسم الأعداد 9 و 4 على بعضها:

$${
4{{\bf{e}}^{1 + 3x}} = 9{{\bf{e}}^{5 – 2x}}\\ \frac{{{{\bf{e}}^{1 + 3x}}}}{{{{\bf{e}}^{5 – 2x}}}} = \frac{9}{4}}$$

الان نرفع الحد الذي فيه e في المقام للأعلى فيصبح الأس الخاص به سالبا.

$${
{{\bf{e}}^{1 + 3x }} \ast {{\bf{e}}^{ – \left( {5 – 2x} \right)}} = {\frac{9}{4}}\\
\rm{ضرب\:القوى\:جمع\:الأسس}\\
{{\bf{e}}^{1 + 3x – \left( {5 – 2x} \right)}} = {\frac{9}{4}}\\
\Rightarrow {{\bf{e}}^{5x – 4}} = {\frac{9}{4}}
}$$

والآن نكمل كالتمارين السابقة بأخذ اللوغاريتم النيبري للطرفين وتكون قيمة x:

$${x= \frac{1}{5} (4+ln \frac{9}{4} )=0.9622}$$