قواعد الاشتقاق في الرياضيات

نقدم لكم ملخص قواعد الاشتقاق في الرياضيات مع كتاب pdf في نهاية المقال يضم أمثلة على الاشتقاق محلولة ومسائل غير مذكورة في المقال بالاضافة إلى كافة القوانين مرتبة بشكل يسهل الفهم للطلاب.

قواعد الاشتقاق في الرياضيات

بداية عليك أن تعرف أن اشتقاق الحد المركب مختلف عن اشتقاق مجهول x أو y لوحدهما. الحد مثلا يكون x+5 أو x2+3x.

في الصورة السابقة على اليسار يتبين لك قواعد اشتقاق المجهول x في الحقل (non-chain Rule) وفي الحقل اليميني قواعد الاشتقاق للحدود المركبة (chain Rule). وهذه بعض القواعد وليس كلها مفسرة بعض الشيء. يمكنك الرجوع إليها عند اللزوم وفي الفقرة التالية تمارين عملية.

1. مشتق العدد الثابت = الصفر f(x) = 5 >> f'(x) = 0
2. مشتق x هو أمثال x مثال: f(x) = 3x >> f'(x) = 3
3. مشتق الكسر = [ (مشتق البسط × المقام ) – (مشتق المقام × البسط ) ] ÷ [مربع المقام]
   f(x) = u/z >> f'(x) = (u'.z-z'.u)/z2
4. مشتق حدين مضروبين ببعضهما = مشتق الأول × الثاني + مشتق الثاني × الأول
   f(xy) = xy >> f'(xy) = x'.y+y'.x)
5. مشتق lلمجهول مرفوع إلى قوة
   f(x) = xn >> f'(x) = n . xn-1
6. مشتق حد مرفوع إلى قوة
   f(u) = un >> f'(u) = n . un-1 . u'
7. مشتق اللوغاريم x
   f(x) = ln x >> f'(x) =1/x
8. مشتق العدد النيبري مرفوع إلى المجهول x:
   f(x) = e^x >> f'(x) =e^x
9. مشتق cos التجيب:
   f(x) = cos(x) >> f'(x) =-sin(x)
10. مشتق sin:
    f(x) = sin(x) >> f'(x) =cos(x)
11. مشتق الجذر التربيعي = 1 ÷ الجذر التربيعي نفسه
    في الحقيقة هو حالة خاصة من الحالة العامة للقاعدة 6 حيث
    √x = x½ >> (√x)’ = (x½)’ = x1-½ = x-½ = 1/x½ = 1/√x

مقالنا سلسلة تمارين الاشتقاق مع الحلول. سنقدم تمارين متنوعة بحيث تتمكن من حل أغلب حالات الاشتقاق:

قوانين الاشتقاق مع أمثلة

اشتقاق الكسر

أوجد مشتق الكسر أو الحد التالي:

$${\frac{d}{dx}\left(\frac{3x+9}{2-x}\right)}$$

الحل: القاعدة تقول مشتق الكسر = [ (مشتق البسط × المقام ) – (مشتق المقام × البسط ) ] ÷ [مربع المقام]

$${\frac{d}{dx}(\frac{y}{z})=\frac{y’ . z-z’ . y}{z^2}}$$

نطبق القاعدة في مثالنا

$${=\frac{\frac{d}{dx}\left(3x+9\right)\left(2-x\right)-\frac{d}{dx}\left(2-x\right)\left(3x+9\right)}{\left(2-x\right)^2} :\\
\frac{d}{dx}\left(3x+9\right) = 3\\
\frac{d}{dx}\left(2-x\right) = -1}$$

الان نعوض:

$${=\frac{3\left(2-x\right)-\left(-1\right)\left(3x+9\right)}{\left(2-x\right)^2}\\
=\frac{15}{\left(2-x\right)^2}}$$

اشتقاق كسر مرفوع إلى قوة

بالنسبة إلى اشتقاق حد مرفوع إلى قوة فإن القاعدة تقول: إذا كان Y حد مرفوع إلى قوة n فيكون مشتقه:

$${\frac{d}{dx}(Y^n) = n×Y^{n-1}×Y’}$$

والآن نأتي إلى المثال المركب مع وجود كسر حتى نطبق ما سبق ولا ننساه, أثبت أن:

$${\frac{d}{dx}\left(\frac{8x}{5+x}\right)^2\:=\:\frac{640x}{\left(5+x\right)^3}}$$

الحل: لنفترض 8x/5+x هو ص فيكون مشتقه:

المشتق = 2 × ص × صَ

$${=2\cdot \frac{8x}{5+x}\frac{d}{dx}\left(\frac{8x}{5+x}\right) : \\
\frac{d}{dx}\left(\frac{8x}{5+x}\right) =\frac{40}{\left(5+x\right)^2}\\
}$$

وقد تعلمنا في المثال السابق اشتقاق الكسر.. الآن نعوض

$${=2\cdot \frac{8x}{5+x}\cdot \frac{40}{\left(5+x\right)^2}\\
=\frac{640x}{\left(5+x\right)^3}}$$

مشتق حدين مضروبين بعضهما

القاعدة تقول : مشتق حدين مضروبين ببعضهما = (مشتق الأول × الثاني) + (مشتق الثاني × الأول)

$${\frac{d}{dx}(y.z)=y’ . z+z’ . y}$$

هنا سنذكر مثالا عن حدين مضروبين مع عدد نيبري e. يعامل العدد النبيري كأي عدد ثابت فلا جديد في القواعد. ولكن لسهولة وسرعة الحل نحفظ بعض القواعد مثل:

مشتق e^x = e^x أي تبقى على حالها. وهي مبرهنة بكل سهولة ولا مكان هنا لذكر البرهان.

مثال أوجد مشتق الحد التالي

$${\frac{d}{dx}\left(1-xe^x\right)^{\:}\:}$$

الحل:

$${\frac{d}{dx}\left(1-xe^x\right)^{\:}\:\\
=\frac{d}{dx}\left(1\right)-\frac{d}{dx}\left(xe^x\right)}$$

القاعدة تقول : مشتق حدين مضروبين ببعضهما = (مشتق الأول × الثاني) + (مشتق الثاني × الأول)

$${\frac{d}{dx}\left(xe^x\right) = 1\cdot e^x+e^xx}$$

الان نعوض في الحد

$${=0-\left(e^x+e^xx\right)\\
=-e^xx-e^x}$$

مشتق sin و cos و tan

لننظر إلى مجموعة القواعد قبل الانتقال للتمارين:

1. مشتق sinx هو cosx
2. مشتق cosx هو -sinx
3. مشتق tanx هو 1/cos2x
4. مشتق cotx هو -1/sin2x

أوجد مشتق الحد التالي:

$${\frac{d}{dx}\left(1-\sin \left(x\right)\right)}$$

الحل:

$${=\frac{d}{dx}\left(1\right)-\frac{d}{dx}\left(\sin \left(x\right)\right)\\
=0-\cos \left(x\right)\\
=-\cos \left(x\right)}$$

مثال آخر أوجد مشتق الحد التالي:

$${\frac{d}{dx}\left(1-\cos ^2\left(x\right)\right)}$$

كما نعرف وفق القاعدة التالية في المثلثات أن:

$${cos^2x+sin^2x\:=\:1\\
1-cos^2x=sin^2x\:}$$

وبالتالي يؤول الحد إلى:

$${\frac{d}{dx}\left(1-\cos \:^2\left(x\right)\right)\:=\:=\frac{d}{dx}\left(\sin \:^2\left(x\right)\right)\\
=2\sin \left(x\right)\frac{d}{dx}\left(\sin \left(x\right)\right)\\
=2\sin \left(x\right)\cos \left(x\right): ولكن\\
\mathrm{Use\:the\:Double\:Angle\:identity}:\quad \:2\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)=\sin \left(2x\right)\\
=\sin \left(2x\right)}$$

أوجد حل التمرين التالي:

$${\frac{d}{dx}\left(\frac{1-cos^2x}{cosx}\right)}$$

الحل:

$${\frac{d}{dx}\left(\frac{1-cos^2x}{cosx}\:\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{sin^2x}{cosx}\:\right)\\
\frac{d}{dx}\left(\sin \:\left(x\right)\tan \:\left(x\right)\right)}$$

نطبق قاعدة اشتقاق مضروب حدين

$${\left(f\cdot g\right)’=f\:’\cdot g+f\cdot g’\\
=\frac{d}{dx}\left(\sin \left(x\right)\right)\tan \left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(\tan \left(x\right)\right)\sin \left(x\right)\\
\cos \left(x\right)\tan \left(x\right)+\sec ^2\left(x\right)\sin \left(x\right)\\
=\sin \left(x\right)\left(1+\sec ^2\left(x\right)\right)}$$