جدول المحتويات
سنتكلم بشكل مفصل عن حالات عدم التعيين, ما هي, وكيفية حساب النهاية في التوابع عندها؟ طرق إزالتها. أمثلة متنوعة لكل حالة مع الحل. لنبدأ.
ما هي حالات عدم التعيين؟
حالات عدم التعيين هي الحالات التي يكون تحديد نهاية التابع فيها صعباً. ونضطر إلى تغيير شكل التابع باستخدام طرق كثيرة أو دراسته بشكل أعمق للوصول إلى النهاية. وحالات عدم التعيين هي: صفر/صفر , صفر ضرب لانهاية , ∞/∞, ∞ -∞.
ويلخص الجدول التالي حالات عدم التعيين بشكل أوضح:
\[\frac{0}{0}\] | \[\frac{±∞}{±∞}\] |
\[0 \times ±∞\] | \[+∞ -∞\] |
طرق إزالة حالات عدم التعيين
حالة عدم التعيين صفر/صفر
هناك 4 طرق لازالة حالة عدم التعيين هذه نتبعها وفقاً لشكل التابع وهي:
- طريقة الاختزال
- طريقة المرافق
- العدد المشتق
- الاعتماد على بعض النهايات الشهيرة المبرهنة.
سنقوم بذكر أمثلة محلولة لكل حالة.
مثال1 طريقة الاختزال: أوجد نهاية التابع التالي عند x = 1
\[f(x) = \frac{x^2 – 1}{x – 1}\]
بالتعويض نصل لحالة عدم تعيين 0/0. نلجأ لطريقة الاختزال. نلاحظ أن البسط هو متطابقة شهيرة (فرق مربعي عددين) وبالتالي يمكن كتابته بشكل آخر:
\[f(x) = \frac{(x+1)(x-1)}{x – 1}\]
\[f(x) =(x+1)\\
\lim_{x \rightarrow 1}(x+1) =2\]
مثال2 طريقة المرافق: أوجد نهاية التابع التالي عندما x=5
\[f(x)=\frac{ \sqrt{2x-1} -3}{x-5}\]
الحل: نلاحظ وجود جذر في البسط. نقوم بالحل بالطريقة الثانية وهي طريقة المرافق. أي نضرب البسط والمقام بمرافق البسط.
\[f(x)=\frac{(\sqrt{2x-1} -3)(\sqrt{2x-1} +3)}{(x-5)(\sqrt{2x-1} +3)}\]
نلاحظ ان البسط يشبه متطابقة فرق مربعي حدين. نقوم بإعادة كتابة البسط:
\[= \frac{(2x-1) – 3^2}{(x-5)(\sqrt{2x-1} +3)}\]
وباقي الخطوات كلها اختصار واختزال:
\[= \frac{2(x-5)}{(x-5)(\sqrt{2x-1} +3)} \\\
= \frac{2}{(\sqrt{2x-1} +3)} \\\
\lim_{x \rightarrow 5} f(x)=\frac{1}{3}\]
مثال3 إزالة عدم التعيين بالاعتماد على العدد المشتق
أوجد نهاية التابع التالي عندما تسعى x إلى \(\frac{\pi}{6}\):
\[f(x)=\frac{2\sin x-1}{6x-\pi}\]
في طريقة العدد المشتق يجب أن يكون المقام على الشكل x-a
والبسط على الشكل g(x)-g(a)
. نعدل في المقام للوصول إلى الشكل المطلوب.
\[f(x)= \frac{2\sin x-1}{6(x-\frac{\pi}{6})}\\
f(x)= \frac{1}{6} \times \frac{2\sin x-1}{x-\frac{\pi}{6}}\]
نلاحظ ان \(g(x)= 2\sin x\) وباالتالي \(g(\frac{\pi}{6})= 1\)
الخطوة الأخيرة نطبق القانون:
\[\lim_{x \rightarrow a} \frac{g(x)-g(a)}{x-a} = g'(a)\]
وبالتالي يكون:
\[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{2\sin x-1}{6x-\pi}\]
\[=\frac{1}{6}\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{g(x)-g(\frac{\pi}{6})}{x-\frac{\pi}{6}} =\frac{1}{6} g'(\frac{\pi}{6})\]
نحسب \(g'(x) = 2\cos x\) وبالتالي \(g'(\frac{\pi}{6}) = 2\cos \frac{\pi}{6}=\sqrt{3}\)
وبالتالي تكون نهاية التابع:
\[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{2\sin x-1}{6x-\pi} =\frac{\sqrt{3}}{6}\]
إزالة حالة عدم التعيين لانهاية /لانهاية
نميز حالتين:
- الحالة الأولة في التابع الحاوي على جذر, نستخدم طريقة التحليل.
- وفي الحالة الثانية تابع كثيرات حدود.
مثال عن الحالة الأولى: أوجد نهاية التابع التالي:
\[\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{2x^2 + x – 3}}{1-x}\]
الحل: بالتعويض نجد أن النتيجة: \(\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)= \frac{+\infty}{+\infty}\)
نضع الحد ذو الرتبة الأعلى كعامل مشترك ونقوم بالاختصار.
\[f(x)=\frac{\sqrt{x^2 \left( 2 + \frac{x}{x^2} – \frac{3}{x^2} \right) } }{1-x}\]
\[=\frac{|x|\sqrt{ \left( 2 + \frac{x}{x^2} – \frac{3}{x^2} \right) } }{1-x}: \sqrt{x^2}=|x|\]
لا ننس أبدأ أن جذر اكس للتربيع = |x| .وهناك قاعدة هامة يجب الانتباه لها دائما:
\[|x| = -x: x \rightarrow -\infty\\
|x| = +x: x \rightarrow +\infty\]
الآن نقوم بالاختصار:
\[=\frac{-x\sqrt{ \left( 2 + \frac{x}{x^2} – \frac{3}{x^2} \right) } }{x(\frac{1}{x}-1)}\]
وباعتبار:
\[\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{3}{x^2} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1}{x} =0\]
فإن:
\[\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x) = \frac{-\sqrt{2}}{-1} = \sqrt{2}\]