جدول المحتويات
مقالنا اليوم مجموعة متنوعة من مسائل التكامل غير المحدود بالاضافة إلى ملف pdf يضم الكثير من المسائل الداعمة المحلولة.
ولكن قبل قرءاة المسائل التالية. راجع درس قوانين التكامل غير المحدود. وتأكد من حفظها والتمكن منها.
مسائل التكامل غير المحدود
المسألة الأولى (تكامل تابع القوة والتابع الثابت)
أوجد تكامل التابع التالي:
\[ f\left( x \right) = {x^4} – 5x + 9\]
الحد x^4 والحد -5x يتم حلهما وفقا لقاعدة القوة
\[ ∫ xⁿ dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]
والحد الثالث (9) يتم حله وفقاً لقاعدة التابع الثابت:
\[∫ a dx = ax + C , a : constant\]
وبالتالي يكون الحل:
\[F\left( x \right) = \frac{1}{5}{x^5} – \frac{5}{2}{x^2} + 9x + c,\,\,\hspace{0.25in}c{\mbox{ is a constant}}\]
المسالة الثانية
اوجد نتيجة التكامل التالي:
\[\displaystyle \int{{5{t^3} – 7{t^{ – 6}} + 4\,dt}}\]
تمرين تقليدي نستخدم القاعدتين الأولى والثانية. الثابت والقوة. نضيف 1 للأس ونقسم على الأس الجديد. ننتبه للإشارات بشكل جيد وهذه من الأمور التي يخسر بها الطلاب علاماتهم في أغلب الأحيان.
\[\begin{align}\int{{5{t^3} – 7{t^{ – 6}} + 4\,dt}} & = 5\left( {\frac{1}{4}} \right){t^4} – 7\left( {\frac{1}{{ – 5}}} \right){t^{ – 5}} + 4t + c\\& = \frac{5}{4}{t^4} + \frac{7}{5}{t^{ – 5}} + 4t + c\end{align}\]
المسألة الثالثة
أوجد نتيجة التكامل التالي:
\[\displaystyle \int{{3\sqrt[4]{{{x^3}}} + \frac{7}{{{x^5}}} + \frac{1}{{6\sqrt x }}\,dx}}\]
يبدو من الوهلة الأولى أنه من التكاملات الصعبة. لكن لا جديد, كل ما علينا هو اتباع قاعدة واحدة من القواعد السابقة وهي قاعدة القوة. ولكن كل ما علينا معرفته هو أن الجذر التربيعي يمكن كتابته كقوة (1/2) . أي : \(\sqrt{x} = x^\frac{1}{2}\)
وننتبه إلى درجة الجذر, درجة الجذر التربيعي 2. ورمزه \(\sqrt{}\) بينما هذا الجذر مثلا \(\sqrt[4]{x}\) درجته 4 ويمكن كتابته بالشكل: \(x^{\frac{1}{4}}\)
وإذا كان الجذر في المقام. يمكن رفعه للبسط مع عكس إشارة الأس أي: \(\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}\)
بناء على ما سبق نستنتج أن كل الحدود يمكن حلها بقاعدة القوة.
\[\begin{align}\int{{3\sqrt[4]{{{x^3}}} + \frac{7}{{{x^5}}} + \frac{1}{{6\sqrt x }}\,dx}} & = \int{{3{x^{\frac{3}{4}}} + 7{x^{ – 5}} + \frac{1}{6}{x^{ – \,\,\frac{1}{2}}}\,dx}}\\ & = 3\frac{1}{{{}^{7}/{}_{4}}}{x^{\frac{7}{4}}} – \frac{7}{4}{x^{ – 4}} + \frac{1}{6}\left( {\frac{1}{{{}^{1}/{}_{2}}}} \right){x^{\frac{1}{2}}} + c\\ & = \frac{{12}}{7}{x^{\frac{7}{4}}} – \frac{7}{4}{x^{ – 4}} + \frac{1}{3}{x^{\frac{1}{2}}} + c\end{align}\]
المسألة الرابعة
قم بحل مسألة التكامل التالية: \(\displaystyle \int{{dw}}\)
تبدو المسألة محيرة في بادئ الأمر. إلا أنها سهلة جداً ويمكن حلها باستخدام قاعدة التابع الثابت. والتكامل هو بالنسبة للمجهول w.
يمكن كتابة التابع بالشكل التالي:
\[\displaystyle \int{{1 \ dw}}\]
أي أننا نطبق التكامل على الرقم 1! وبالتالي يكون الجواب:
\[w+c\]
المسألة الخامسة (التابع اللوغاريتمي)
اوجد ناتج التكامل غير المحدود التالي:
\[\displaystyle \int{{\frac{{5{x^{11}} – 4{x^4} – 7{x^2}}}{{{x^3}}}\,dx}}\]
الحل: نقوم بتقسيم كل حد في البسط على x3 التي في المقام ليكون لدينا:
\[\int{{\frac{5x^{11}}{x^3}- \frac{4x^{4}}{x^3}-\frac{7x^{2}}{x^3}\,dx}}\]
الآن نقوم بالاختصار:
\[\int{5x^8-4x-\frac{7}{x}\,dx}\]
الحد الأول والثاني يمكن تكاملهما بقاعدة القوة. أما الأخير فلا يمكن. لكن لنجرب:
\[\int{7x^{-1}\, dx} =\frac{ 7x^{-1+1}}{-1+1}\]
كما نلاحظ. القسمة على صفر غير ممكنة (حالة عدم تعيين) وبالتالي لا يمكن تكامل هذا الحد باستخدام قاعدة القوة. ونلجأ لقاعدة اللوغاريتم في التكامل وهي:
\[\int{{\frac{1}{x}\,dx}} = \int{{{x^{ – 1}}\,dx}} = \ln \left| x \right| + c\]
وبالتالي يكون تكامل الحد الأخير:
\[\int{{-\frac{{7}}{x}\,dx}} = -7\int{{\frac{1}{x}\,dx}} = -7\ln \left| x \right| + c\]
ويكون ناتج التكامل النهائي:
\[\frac{5}{9}{x^9} – 2{x^2} – 7\ln \left| x \right| + c\]
المسالة السادسة (توابع القوة والتوابع المثلثية)
أوجد ناتج التكامل التالي:
\[\int{{4{{\bf{e}}^x} – 3\sin x – 6{{\sec }^2}x\,dx}}\]
الحل: التكامل هذا سهل وهو تطبيق مباشر لقاعدة التكامل للتابع الأسي النيبري والتوابع المثلثية:
\[= 4{{\bf{e}}^x} + 3\cos x – 6\tan x + c\]
اكتب لنا في التعليقات لارسال ملف pdf عن مسائل في التكامل غير المحدود