جدول المحتويات
إحدى الطرق الهامة لحل المعادلات من الدرجة الثانية هي طريقة التحليل إلى عوامل. وتكمن الفائدة الكبرى لهذه الطريقة في اختصار الوقت الذي تأخذه تطبيق الطريقة التقليدية باستخدام القانون العام. حيث أن هنالك معادلات يمكن تحليلها بسهولة وإيجاد الجذور حتى بالنظر للمعادلة.
فبدلا من تطبيق القانون العام وجذر دلتا وإضاعة الوقت. يمكننا من خلال مهارات التحليل إيجاد الجذور بكل سهولة.
طرق حل معادلة من الدرجة الثانية
هناك الكثير من الطرق لحل المعادلة من الدرجة الثانية ومنها:
- حل معادلة من الدرجة الثانية بالقانون العام
- حل معادلة من الدرجة الثانية بالاتمام إلى مربع كامل
- حل معادلة من الدرجة الثانية بالتحليل إلى عوامل.
والطريقة الثالثة هي ما سنتكلم عنه بالتفصيل اليوم في مقالنا. ولكن يمكننا إعطاؤكم بعض النصائح لاختيار الطريقة الانسب لكم في الحل:
- إذا كانت المعادلة قابلة للتحليل بسهولة، فإن التحليل إلى عوامل هو أسرع طريقة.
- طريقة القانون العام (دلتا) هي طريقة مضمونة لحل أي معادلة من الدرجة الثانية (حتى لو لم يكن للمعادلة حل في مجموعة الأعداد الحقيقية).
- طريقة إكمال المربع هي طريقة مفيدة لفهم القانون العام ولكنها أقل شيوعًا للحل المباشر.
وكمراجعة سريعة, لنتذكر الصيغة العامة للمعادلة من الدرجة الثانية قبل البدء بشرح الطريقة.
المعادلة من الدرجة الثانية
المعادلة من الدرجة الثانية هي معادلة رياضية تأخذ الصيغة العامة الأساسية لها الشكل التالي:
أ س² + ب س + جـ = ٠
حيث إن:
- أ، ب، جـ هي ثوابت (أرقام عددية).
- س هو المتغير الذي نريد إيجاد قيمته (جذور أو حلول المعادلة).
وشرط المعادلة هو أن أ لا يساوي صفر. حيث أنه إذا ساوت أ صفراً. هذا يعني انعدام الحد الذي يحتوي س٢ وبالتالي تؤول المعادلة إلى معادلة من الدرجة الأولى.
وهناك عدة طرق لحل المعادلة من الدرجة الثانية منها الطريقة العامة التي تناولناها في المقال (برنامج حل معادلة من الدرجة الثانية). وطريقة التحليل الى عوامل والتي سنتكلم عنها في مقال اليوم.
تحليل معادلة من الدرجة الثانية إلى جداء عاملين
قبل البدء بشرح الطريقة لا بد من التنويه إلى أن هذه الطريقة لا يمكن تطبيقها في كل الأحيان وإيجاد العوامل. وبالتالي هي طريقة تجريبية لاختصار الوقت. وعند تعذر إيجاد العوامل فلا بد من اللجوء إلى الطريقة التقليدية بلاستخدام القانون العام.
يجب دائما التأكد من الحلول عند استخدام طريقة التحليل إلى عوامل. لأن إيجاد العوامل تم من خلال التفكير الذهني. ويتم التاكد بتعويض الحلول في المعادلة والتأكد من أنها محققة.
تعتمد فكرة التحليل إلى عوامل إلى كتابة المعادلة على شكل جداء قوسين:
(س + د) (س + هـ) = ٠
الوقت اللازم: دقيقتين (2)
حل معادلة من الدرجة الثانية بالتحليل
- كتابة المعادلة بالصيغة العامة
يجب علينا ان نتأكد أن المعادلة مكتوبة بالصيغة العامة ومختصرة بالشكل المناسب. حيث أن الصيغة العامة:
أ س² + ب س + جـ = ٠ - الحالة الأولى أ = ١
نبحث عن عددين حاصل ضربهما = جـ وحاصل جمعهما = ب (فقط في حال كان الحالة الأولى أ = ١).
- الحالة الثانية أ ≠ ١
تكون عملية التحليل أكثر تعقيدًا وتتطلب تجربة أو استخدام طرق أخرى.
- إيجاد العوامل بعد التحليل
إذا وجدت العددين (د) و (هـ)، فيمكنك مساواة كل قوس بالصفر. فتكون حلول المعادلة:
إما س + د = 0 ← س = -د
أو س + هـ = 0 ← س = -هـ
حيث أنه إذا وجود قوسين مضروبين ببعضهما في معادلة تساوي الصفر. فيجب أن يكون قوس منهما على الأقل يساوي الصفر.
أمثلة على تحليل معادلة من الدرجة الثانية
حل المعادلة التالية بطريقة التحليل إلى عوامل:
س² + ٥س + ٦ = ٠
الحل: نبحث عن عددين حاصل ضربهما ٦ وجمعهما ٥. العددان بكل بساطة هما ٢ و ٣.
الآن نكتب المعادلة على شكل حاصل ضرب قوسين (عوامل):
(س + ٢) (س + ٣) = ٠
وبالتالي تكون حلول المعادلة:
إما س + ٢ = ٠ ← س = -٢
أو س + ٣ = ٠ ← س = -٣
أي الحلول هي -٣,-٢
تمرين 2: أوجد حل المعادلة التالية بالتحليل:
س² – ٨س + ١٥ = ٠
الحل: نبحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي الحد الثابت (١٥) وحاصل جمعهما يساوي معامل الحد الأوسط (-٨).
العددين هما -٣ و -٥، لأن (-٣) × (-٥) = ١٥ و (-٣) + (-٥) = -٨. (يمكننا القول مباشرة أن الحلول هي ٣ و ٥ وهي القيم المعاكسة بالاشارة للعوامل التي أوجدناها. ولكن في الامتحان يجب كتابة الطريقة كاملة).
نكتب المعادلة على شكل عوامل باستخدام هذين العددين:
(س – ٣) (س – ٥) = ٠
إما س – ٣ = ٠ ← س = ٣
أو س – ٥ = ٠ ← س = ٥
وبالتالي قيمتا س اللتان تحققان المعادلة هما ٣ و ٥.
تمرين ٣: حل المعادلة التالبية بالتحليل:
٢س² + ١٠س = ٠
نلاحظ وجود عامل مشترك بين الحدين الموجودين وهو ٢س. أي يمكننا إخراج ٢س كعامل مشترك كالتالي:
٢س (س + ٥) = ٠
الآن لدينا المعادلة على شكل جداء حدين. يمكننا أن نقول:
إما ٢س = ٠ ← س = ٠
أو س+٥ = ٠ ← س = -٥
وبالتالي حلول المعادلة هي ٠ و -٥
خاتمة
ليست كل المعادلات التي من الدرجة الثانية قابلة للتحليل. وهنا نلجأ لطرق أخرى مثل طريقة القانون العام أو إكمال المربع. كذلك من المهم جداً التأكد من الحلول التي وجدناها وتعويضها في المعادلة.
بشكل عام نلجأ لطريقة التحليل إلى عوامل في الامتحانات عندما لا يكون مطلوبا منا في بعض الاحيان حل المعادلة بشكل مباشر وإنما أمور أخرى. وهنا نلجأ لهذه الطريقة من أجل السرعة فقط.
