جدول المحتويات
الحل الأول: الأساسي والمباشر
لحل المعادلة التربيعية \(x^2+x-1=0\) باستخدام القانون العام، نتذكر أن صيغة القانون العام هي:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$في معادلتنا \(x^2+x-1=0\):
- \(a = 1\) (معامل \(x^2\))
- \(b = 1\) (معامل \(x\))
- \(c = -1\) (الحد الثابت)
الآن، لنقم بتعويض هذه القيم في القانون:
$$x = \frac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 – 4(1)(-1)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$إذن، الحلان هما:
$$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-1 – \sqrt{5}}{2}$$الحل الثاني: مع شرح مبسط للخطوات
لنفترض أنك تواجه المعادلة \(x^2+x-1=0\) وتريد إيجاد قيم \(x\) التي تحققها. أفضل طريقة لذلك هي استخدام القانون العام، وهو أداة قوية لحل أي معادلة تربيعية على الصورة \(ax^2+bx+c=0\).
الخطوات بسيطة:
تحديد المعاملات: في معادلتنا \(x^2+x-1=0\):
- \(a\) هو العدد المضروب في \(x^2\), وهو هنا \(\mathbf{1}\).
- \(b\) هو العدد المضروب في \(x\), وهو هنا \(\mathbf{1}\).
- \(c\) هو الحد الثابت (الذي لا يحتوي على \(x\)), وهو هنا \(\mathbf{-1}\).
تطبيق القانون العام: القانون هو:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$التعويض والحساب:
نبداً بتعويض القيم التي حددناها: $$x = \frac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 – 4(1)(-1)}}{2(1)}$$ نُبسط ما تحت الجذر أولاً: $$1^2 – 4(1)(-1) = 1 – (-4) = 1 + 4 = 5$$ تصبح المعادلة: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$فصل الحلين: لأن لدينا \(\pm\) (زائد أو ناقص)، نحصل على حلين مختلفين:
- الحل الأول (\(x_1\)): عندما نستخدم إشارة الزائد: $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$$
- الحل الثاني (\(x_2\)): عندما نستخدم إشارة الناقص: $$x_2 = \frac{-1 – \sqrt{5}}{2}$$
وبهذا نكون قد وجدنا الحلين للمعادلة.
الحل الثالث: موجز ومحدد
لحل المعادلة \(x^2+x-1=0\) باستخدام القانون العام \(\left(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\right)\):
نحدد قيم \(a, b, c\):
- \(a=1\)
- \(b=1\)
- \(c=-1\)
نُعوض في القانون:
$$x = \frac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 – 4(1)(-1)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$النتائج هي:
$$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-1 – \sqrt{5}}{2}$$قد يهمك أيضاً:
