جدول المحتويات
نقدم لكم اليوم سلسلة تمارين حساب اضلاع وزوايا المثلث القائم والحاد والمنفرج الزاوية. وأكثر من 20 تمرين محلول بالاضافة إلى تمارين ومسائل إضافية في كتيب Pdf عن حل المثلثات (تشمل كافة الأنواع المثلث قائم الزاوية والمتساوي الساقين والمتساوي الأضلاع). والتي تفيد طلاب المراحل المتويطة الاعدادية والثانوية وتقوي مهاراتهم في التفكير والحل. وباسم الله نبدأ.
يمكنك الاطلاع على مقال كافة قوانين حساب أضلاع وزوايا المثلث بجميع حالاته (قائمو متساوي الساقين…). بالاضافة إلى مقال حاسبة زوايا وأضلاع المثلث اونلاين مع الرسم.
تمارين حل المثلثات
في تمارين اليوم سيطلب منك حل المثلث وهذا يعني إيجاد كافة الزوايا والأضلاع. وسيطلب منك طلبات إضافية كحساب الارتفاعات والمتوسطات أو نصف قطر دائرة المثلثل الداخلية أو الخارجية.. الخ.
حل مثلث بمعلومية ضلعين وزاوية محصورة بينهما
ليكن لديك المثلث ABC قياس الزاوية ∠B=60° و الضلعين a = 2 و c = 4. حل المثلث.
الحل: نبدا بايجاد الضلع b اعتمادا على قانون جيب التمام أو التجيب:
b = √a2 + c2 – 2ac·cos(B) = 3.4641 = 2√3
واعتمادا على نفس القانون نحسب الزاوية A:
a2 = b2 + c2 – 2bc·cos(A)
∠A = arccos((b2 + c2 – a2/(2bc))
= 0.5236 rad = π/6 = 30°
ونحسب الزاوية C بالمثل:
c2 = a2 + b2 – 2ab·cos(C)
∠C = arccos((b2 + a2 – c2/(2ba))
= 1.5708 rad = π/2 = 90°
حل مثلث بمعلومية زاويتين وضلع محصور بينهما
لنفرض المثلث ABC قياس الزاويتين ∠A = 45 و ∠B = 30 وطلو الضلع المحصور بينهما c = 4. حل المثلث السابق.
الحل: نقوم اولا بايجاد الزاوية الثالثة المتبقية اعتمادا على ان مجموع زوايا المثلث = 180 درجة. فتكون الزاوية C.
∠C = 180° – A – B = 1.8326 rad = 7/12π = 105°
ومن قانون الجيوب المعروف نحسب طولي الضلعين الباقيين a و b
a = c·sin(A)/sin(C) = 2.9282
b = c·sin(B)/sin(C) = 2.07055
حل مثلث بمعلومية أطوال أضلاعه
لدينا المثلث ABC أطوال أضلاعه a = 3 , b = 5 , c = 4. حل المثلث واحسب مساحته.
الحل: نعتمد على قانون جيب التمام في إيجاد الزوايا الثلاث.
c2 = a2 + b2 – 2ab·cos(C)
∠C = arccos((b2 + a2 – c2/(2ba))
= 0.9273 rad = 53.13°
وبالمثل نحسب A و B فيكون:
A = 0.6435 rad = 36.87°
B = 1.5708 rad = π/2 = 90°
لحساب مساحة المثلث القائم تقول القاعدة أن المساحة تساوي نصف جداء طولي الضلعين القائمتين.
area = a*c/2 = 3*4/2 = 12/2 = 6
حل مثلث بمعلومية ضلعين وزاوية غير محصورة بينهما
هنا اتينا إلى المهم. في هذه الحالة سينتج لدينا حلان للمثلث. وفي المثال ستضح الأمور.
حل المثلث ABC الذي فيه a=5 و c = 8.66 و الزاوية ∠A = 30.
الحل: نبدأ بإيجاد الزاوية C باتسخدام قانون الجيوب فيكون
c/sin(C) = a/sin(A)
sin(C) = c * sin(A)/a
sin(C) = 8.66 * sin(30)/5 = 8.66 * 0.5/5 = 0.866 = √3/2
هنا نحن نعرف أن 0.866 يساوي √ . وبما ان 3/2sin(C) = √ وبالتالي تكون C إما 60 او 120 وبالتالي لدينا حلين ومثلثين.3/2
يمكنك التأكد من الآلة الحاسبة باستخدام مفتاح Sin-1 وأحيانا يكتب arcsin.
الحل الأول على فرض ان ∠C = 60 يكون:
∠B = 180° – A – C = 1.57 rad = 90°
b = a*sin(B) / sin(A) = 10
الحل الثاني على فرض أن ∠C = 120 درجة:
∠B = 180° – A – C = 0.523 rad = 30°
b = a*sin(B) / sin(A) = 5
للمزيد من التمارين يمكنك الاطلاع على ملف PDF تمارين عن المثلثات.