المتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد تمارين و حلول

نقدم لكم في مقالنا اليوم تمارين وحلول متراجحات من الدرجة الاولى بمجهول واحد لطلاب السنة الأولى والثانية والثالثة والرابعة المتوسط. وكل التمارين مرفقة بالحلول والشرح خطوات الحل بالتفصيل. وويقصد بحل المتراجحة إيجاد مجموعة الحلول أو القيم أو المجال أو المجالات للمجهول x التي تجعل المتراجحة صحيحة. ولنبدأ قبل التمارين بمراجعة بسيطة.

يمكنك الاطلاع على تمارين متراجحات من الدرجة الثانية

حل متراجحة من الدرجة الاولى بمجهول واحد

كل علاقة رياضية من الشكل:

• ax+b > 0
• ax+b < 0
• ax+b ≤ 0
• ax+b ≥ 0

تسمى متراجحة أو متباينة من الدرجة الأولى (وهي عكس المساواة أو المعادلة). بحيث x مجهول، بينما a و b ثوابت عددية معلومة.
حل المتراجحة يعني إيجاد جمع قيم المجهول x التي من اجلها تصبح المتراجحة صحيحة او محققة.

مثال: حل المتراجحة التالية: 3x+5<7
باصلاح المتراجحة: نطرح 5 من الطرفين فيكون

EQ1.2E​3x<2

نقسم على 3 فيكون

EQ1.2Ex<[2]/[3]

وبالتالي لكي تكون المتراجحة صحيحة ومحققة يجب ان تكون x اصغر من 2/3. وبالتالي فإن مجموعة حلول المتراجحة هي ضمن المجال ]-inf, 2/3[

مثال٢ حل المتراجحة التالية -5x-10 < 1

الحل:

1. نضيف 10 لطرفي المتراجحة فيكون -5x<11.
2. نضرب طرفي المتراجحة ب -1 (نقلب المتراجحة) فتصبح 5x>-11
3. نقسم الطرفين على 5 فتصبح

EQ1.2Ex>-[11]/[5]

وبالتالي مجموعة حلول المتراجحة هي جميع القيم التي هي اكبر من -11/5. وعلى شكل مجال

EQ1.2E\matl-[11]/[5] , ∞\matr

الحالة الخاصة للمتراجحة

اذا كانت a=0 نميز للمتراجحة من الدرجة الاولى حالتين:

• b>0 وبالتالي x+b > 0 ومنه 0x > -b وهي متراجحة محققة أيا كانت قيمة x
• b<0  وهذا يعني 0x-b > 0 وبالتالي 0x > b وهي متراجحة مستحيلة الحل لأنه مهما كانت قيمة x لأن b<0.

تمارين وحلول متراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد

إليكم مجموعة من تمارين المتراجحات من الدرجة الأولى (تمارين وحلول). وقد فصلنا كافة خطوات الحل مع رسم بياني لكل حالة.

التمرين الأول

أوجد حل المتراجحة من الدرجة الاولى التالية:

EQ1.2E−x+3>​2x+1

خطوات الحل بالتفصيل

• نطرح 3 من طرفي المتراجحة فتصبح −x+3−3>2x+1−3.
• بتبسيط الطرفين −x>2x−2
• نطرح 2x من طرفي المتراجحة −x−2x>2x−2−2x
• بالتبسيط −3x>−2
• نضرب الطرفين بـ −1 (عكس المتراجحة أو قلب اتجاهها) (−3x)(−1)<(−2)(−1)
• بالتبسيط 3x<2
• نقسم طرفي المتراجحة على 3

EQ1.2E[3x]/[3] <[2]/[3] 
بالتبسيط
x<[2]/[3]

التمرين الثاني

أوجد حلول المتراجحة من الدرجة الأولى التالية:

EQ1.2E|3+2x|≤ 7

الحل: بتطبيق قاعدة القيمة المطلقة: إذا كان |u​| ≤ aوكان  a > 0 فإن  −a ≤ u ≤ a

EQ1.2E−7≤ 3+2x≤ 7
3+2x≥ −7    and     3+2x≤ 7
x≥ −5    and     x≤ 2

ومجموعة الحل تكون تقاطع المجالين (دمج المجالات المتداخلة):

EQ1.2E−5≤ x≤ 2

التمرين الثالث

أوجد حلول المتراجحة التالية:

EQ1.2E4x+5>3x−3

الحل: نطرح 5 من طرفي المتراجحة ثم نقوم بتبسيطها والاختصار

EQ1.2E4x+5−5>3x−3−5
4x>3x−8

نطرح 3x من الطرفين ونقوم بالتبسيط مرة أخرى:

EQ1.2E4x−3x>3x−8−3x
x>−8

وبالتالي فإن مجموعة الحلول ]-8, inf[ نلاحظ في الرسم أننا رسمنا دائرة مفرغة عند النقطة -8 للدلالة على أن -8 ليست حلا للمتراجحة.

التمرين الرابع

لنحاول الآن حل المتراجحة التالية:

EQ1.2E[x]/[2] +[3x+1]/[4] ≥ 1

خطوات حل المتراجحة: نضرب طرفي المتراجحة بالرقم 4 من أجل التخلص من المقامات. ثم نختصر الحدود الناتجة

EQ1.2E[x]/[2] · 4+[3x+1]/[4] · 4≥ 1· 4
5x+1≥ 4

نطرح 1 من طرفي المتراجحة ونختصر ثم نقسم الطرفين على 5 ونختصر مرة أخرى

EQ1.2E5x+1−1≥ 4−1
5x≥3
[5x]/[5] ≥[3]/[5]
x≥[3]/[5]

وبالتالي فإن x ∈ [3/5, ∞[ ولاحظ عند رسم الحلول أننا رسمنا دائرة مصمطة لدلالة على أن 3/5 هو حل مقبول للمتراجحة.

التمرين الخامس

أوجد حلول المتراجحة من الدرجة الأولى التالية:

EQ1.2E[3x−2]/[2] −[x+1]/[4] ≥[x]/[3] 

خطوات الحل: بايجاد المضاعف المشترك الأصغر لـ 2, 4, 3:    12. نضرب بالمضاعف المشترك الأصغر=12 ثم نقوم بالاختصارات اللازمة.

EQ1.2E[3x−2]/[2] · 12−[x+1]/[4] · 12≥[x]/[3] · 12
6(3x−2)−3(x+1)≥ 4x

نقوم بفك أقواس الحد الأول ونختصر.

Expand 6(3x−2)−3(x+1):    15x−15
15x−15≥ 4x

نضيف 15 إلى طرفي المتراجحة و نبسطها ثم نطرح 4x ونبسطها مرة اخرى

EQ1.2E15x−15+15≥ 4x+15
15x≥ 4x+15
15x−4x≥ 4x+15−4x
11x≥ 15

نقسم طرفي المتراجحة على 11 لايجاد مجموعة الحلول

EQ1.2E[11x]/[11] ≥[15]/[11] 
x≥[15]/[11]

التمرين السادس

لتكن لدينا المتراجحة التالية:

EQ1.2E3([4]/[5]x+3)≤[x+1]/[3]

الحل: نضرب الطرفين بـ 3 ثم نبسط المتراجحة.

EQ1.2E3([4]/[5] x+3)· 3≤[x+1]/[3] · 3
9([4]/[5] x+3)≤ x+1

نفك الحد الأول ثم نضرب الطرفين بـ 5 ونقوم بالاختصارات اللازمة

EQ1.2EExpand 9([4]/[5] x+3):   [36]/[5] x+27
[36]/[5] x+27≤ x+1
[36]/[5] x· 5+27· 5≤ x· 5+1· 5
36x+135≤ x· 5+5

نطرح 135 من طرفي المتراجحة ونبسطها ثم نطرح 5x ثم نقسم الطرفين على 31

EQ1.2E36x+135−135≤ x· 5+5−135
36x≤ 5x−130
36x−5x≤ 5x−130−5x
31x≤ −130
[31x]/[31] ≤[−130]/[31 ]
x≤ [−130]/[31 ]