حل متراجحة من الدرجة الثانية تمارين وحلول

مقالنا عن تمارين وحلول المتراجحات من الدرجة الثانية بمجهول واحد لتفيد مختلف الطلاب وخصوصا طلاب السنة الثانية ثانوي. نقدم لكم 6 تمرينات متنوعة لتكتمل لديكم الفكرة عن كيفية حل المتراجحة من الدرجة الثانية وإيجاد المجالات المختلفة لمجموعة الحل مع الرسم.

يمكنك الاطلاع على تمارين حول المتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد

التمرين الأول

أوجد حل المتراجحة من الدرجة الثانية التالية واكتب الحلول على شكل مجال وارسم مجالات الحلول

EQ1.2Ex²−x−6​>0

الحل: نكتب الطرف الأول على شكل جداء قوسين لسرعة الحل. بالتحليل إلى عوامل علينا ايجاد عددين حاصل ضربهما -6 وحاصل جمعهما -1 (أمثال x). بالتأكيد هما العددان 2 و -3

EQ1.2E x²−x−6:    (x+2)(x−3)

وبالتالي تكون المتراجحة:

EQ1.2E(x+2)(x−3)>0

وبالتالي لدينا حدان حاصل ضربهما أكبر من الصفر. إما الحدين أكبر من الصفر أو الحدين اصغر من الصفر (السالب في السالب موجب) أو.

الحالة الأولة الحدان أكبر من الصفر.

EQ1.2E(x+2)>0 ⇒ x>-2
(x−3)>0 ⇒ x>3

ولكن أي حل صحيح منهما؟

الحل الصحيح هو الحل الذي يحقق المتراجحتين معاً (x>3) (نأخذ تقاطع المجالين المحققين أي القيم التي تنتمي للمجالين)

الحالة الثانية الحدان أصغر من الصفر فيكون:

EQ1.2E(x+2)<0 ⇒ x<-2
(x−3)<0 ⇒ x<3

والحل الذي يحقق المتراجحتين هو x<-2 والذي هو تقاطع المجالين السابقين

الآن يكون حل المتراجحة النهائي للحالتين الأولى والثانية هو اجتماع الحالتين الأولى والثانية.

الحالة الأولى كانت x>3 والحالة الثانية x<-2 والحل النهائي هو اجتماع المجالين كما في الصورة:

وبالتالي نستنتج ان مجموعة حلول المتراجحة هي ما يوافق الحلين. ويمكننا التعويض بالمتراجحة للتاكد من الحلول. مثلا نعوض بالقيم التي أصغر من -2. ونعوض في القيمة التي اكبر من 3 ويجب أن تكون المتراجحة محققة. ونعوض أخيرا بالقيم التي في المجال الذي في المنتصف [-2 3] ويجب ان تكون جميع القيم ضمن هذا المجال لا تحقق المتراجحة لأنها لا تدخل ضمن القيم الصحيحة في حلنا.

[

Solution:	x<−2 or​ x>3
Interval Notation:	(−∞ , −2) ∪ (3, ∞)

]

بالنسبة للرسم نضع دائرة فارغة عند النقطتين -2, 3 للتوضيح أن المتراحجة غير محققة عند هاتين النقتطتين.

التمرين الثاني

أوجد مجموعة حلول المتراجحة من الدرجة الثانية التالية مع الرسم:

EQ1.2Ex(x+3)≤ x​−7 

الحل: نقوم بنقل الطرف الثاني إلى الأول مع تغيير الاشارة.

EQ1.2Ex(x+3)≤ x−7
x(x+3)-x+7≤ 0

نقوم بفك الأقواس عن الحد الأول ونبسط المتراجحة

EQ1.2Ex²+3x-x+7≤ 0
x²+2x+7≤ 0

الطرف الأول من المتراجحة السابقة يمثل معادلة من الدرجة الثانية بالصيغة العامة. نحاول حلها إما بالمحدد دلتا أو عن طريق بالاتمام إلى مربع كامل

EQ1.2Ex²+2x+7:    (x+1)²+6
(x+1)²+6≤ 0

نطرح 6 من طرفي المتراجحة ونقوم بتبسيطها لتصبح

EQ1.2E(x+1)²+6−6≤ 0−6
(x+1)²≤ −6

لنفرض الأس 2 هو n. تقول القاعدة إذا كان n زوجيا, فإن uⁿ ≥ 0 من اجل جميع قيم u. أو بصيغة أخرى لا يمكن أن يكون هناك عدد (أو حد) مرفوع إلى اس زوجي (2, 4, 6…) وتكون نتيجة رفع هذا العدد للأس سالبة. وبالتالي لا يوجد حل للمتراجحة عندما x∈ℝ

بطريقة أخرى: لو أوجدنا المحدد دلتا للحد x²+2x+7 سيكون Delta=4-4*1*7 <0 وبما أن دلتا أصغر من الصغر فليس للمتراجحة حل في R انظر مقال تمارين معادلات من الدرجة الثانية للاطلاع على المزيد حول طريقة إيجاد دلتا وحلول المعادلات.

التمرين الثالث

أوجد حلول المتراجحة التالية مع رسم مجالات الحلول:

EQ1.2E[x(2x+3)]/[2] ≤ 5x

الحل: نقوم بالاصلاح والتبسيط بضرب طرفي المتراجحة بـ2 ثم ننقل 10x للطرف الأول مع تغيير إشارة 10x. ثم نكتب الطرف الأول على شكل جداء حدين.

EQ1.2E2x²+3x≤ 10x
2x²−7x≤ 0
نخرج x كعامل مشترك
x(2x−7)≤ 0

الطريقة الأولى في الحل قائمة على التجريب على حلول المعادلة (أطراف المجالات): النقاط الحرجة كما نرى هي x = 0 و x = 7/2 نتحقق من المجال بين النقطتين وخارجهما.

x≤0 (غير محققة في المتراجحة)
0≤x≤ 7 (محققة في المتراجحة الأساسية)
x≥7/2 غير محققة في المتراجحة
وبالتالي تكون مجالات الحل:

EQ1.2E0≤ x≤[7]/[2]

الطريقة الثانية هي طريقتنا التقليدية: لدينا حدان حاصل ضربهما أصغر أو يساوي الصفر. لدينا حالتان متعاكستان:

1. إما الحد الأول أكبر (أو =) الصفر و الثاني اصغر (أو =) الصفر
2. أو الحد الأول اصغر (أو =) الصفر و الثاني أكبر (أو =) الصفر

بالنسبة للحالة الأولى

EQ1.2Ex≥0
x−[7]/[2]​≤0 ⇒ x≤[7]/[2]

وتقاطع الحلين أو الحل الذي يحقق المتراجحتين هو x∈[0,7/2​]

واما بخصوص الحالة الثانية نجد:

EQ1.2Ex≤0
x−[7]/[2]​≥0 ⇒ x≥[7]/[2]

وتقاطع الحلين أو الحل الذي يحقق المتراجحتين هو x∈0

والآن نأخذ اجتماع حلول الحالتين الأولى والثانية فيكون حل المتراجحة النهائي:

[

Solution: ​	0≤ x≤72
Decimal:	0 ≤ x ≤ 3.5
Interval Notation:	[0, 72 ]

]

طريقة ثالثة: إذا كنت متدربا على رسم الخطوط البيانية للتوابع من الدرجة الثانية يمكنك إيجاد الحلول بكل سهولة شريطة اثبات الرسم بشكل كامل. مثلا حلول المعادلة 2x² -7x = 0 التي تمثل متراجحتنا هي x₁ =7/2 = 3.5 و x₂ = 0. برسم التابع الخاص بها نلاحظ أن الخط البياني للتابع أصغر أو يساوي الصفر عندما x∈[0,3.5​].

يمكنك الاستعانة بمقال حل معادلة من الدرجة الثانية أون لاين لايجاد الرسم.

التمرين الرابع

لتكن المتراجحة التالية

EQ1.2E(x+5)(x−​5)>0

الحل: الحالة الأولى الحدين معا أكبر من الصفر

EQ1.2Ex+5>0
⇒ x>-5
x-5>0
⇒ x>+5

والحل المحقق للمتراجحتين x>5

الحالة الثانية الحدان أصغر من الصفر:

EQ1.2Ex+5 < 0
⇒ x < -5
x-5 < 0
⇒ x < +5

والحل المحقق للمتراحجتين x<-5.

وبالتالي مجموعة حلول المتراجحة هي (−∞ , −5) ∪ (5 , ∞). ولكن سنحاول الحل بطريقة اخرى لنتعلم كيفية الحل في حال مواجهتك للجذر التربيعي في المتراجحة. لذا سنفك أقواس الحد الأول.

EQ1.2E(x+5)(x−5)>0
EQ1.2EExpand (x+5)(x−5):    x²−25
EQ1.2Ex²−25>0

نجمع 25 لكلا الطرفين

EQ1.2Ex²−25+25>0+25

بتبسيط المتراجحة

EQ1.2Ex²>25

من أجل un > a, إذا كان n زوجيا فإن u < −n√a أو u > n√a

EQ1.2Ex<−√25    or     x>√25 : (√25=5)
x<−5    or     x>5

أو بطريقة أخرى:

EQ1.2Ex²>25 ⇒
|x| > √25 ⇒
إما x > 5
أو -x >5 ⇒x <-5

[

Solution:​	x<−5 or x>5
Interval Notation:	(−∞ , −5) ∪ (5, ∞)

]

التمرين الخامس

قم بايجاد مجالات حلول المتراجحة من الدرجة الثانية:

EQ1.2E(x+3)²≤ 10x+6

الحل: نفك أقواس الطرف الأول وننقل الطرف الثني مع تغيير اشارته ونردها للصيغة العامة ثم إلى جداء قوسين

EQ1.2Ex²+2*3*x+3² ≤10x+6
x²+2*3*x+3² -10x -6≤10x+6
x²−4x+3≤ 0
بالتحليل لعوامل عليك ايجاد عددين حاصل ضربهما 3 وجمعهما -4
x²−4x+3:    (x−1)(x−3)
(x−1)(x−3)≤ 0

وبالتالي تكون مجالات x

EQ1.2E1≤ x≤ 3

[

Solution:	1≤ ​x ≤ 3
Interval Notation:	[1, 3]

]

التمرين السادس

لديك متراجحة فيها حد بالقيمة المطلقة. أوجد مجموعة الحلول مع رسم مجالات الحلول

EQ1.2E|3+x²|≤ 7

الحل: بتطبيق قاعدة القيمة المطلقة:

   If |u| ≤ a, a > 0 then −a ≤ u ≤ a

EQ1.2E−7≤ 3+x²≤ 7
EQ1.2E3+x²≥ −7    and     3+x²≤ 7

محققة من أجل جميع قيم x وفي المجال

EQ1.2E−2≤ x≤ 2

بدمج المجالات المتداخلة تكون مجموعة حلول المتراجحة:

EQ1.2E−2≤ x≤ 2

[

Solution:	−2​≤ x≤ 2
Interval Notation:	[−2, 2]

]

التمرين السابع

لدينا الآن متراجحة فيها كسر وهي من الدرجة الثانية وفيها القيمة المطلقة فلنحاول حلها

EQ1.2E[5]/[|x²−1|] ≤ 1

طريقة اولى: نقوم بايجاد بايجاد المجالات السالبة والموجبة

EQ1.2Ex≤ −1 , −1<x<1 , x≥ 1

بحل المتراجحة من أجل كل مجال نجد:

EQ1.2Ex≤ −√6    or    No Solution    or     x≥√6

بدمج المجالات المتداخلة

EQ1.2Ex ≤ −√6    or     x≥√6

طريقة ثانية: نضرب الحد الثاني بـ |x2−1|:

EQ1.2E|x²−1| ≥ 5

الآن وفقا لقاعدة القيمة المطلقة يكون إما:

EQ1.2E+(x²−1) ≥ 5
⇒ x² ≥ 6
⇒x≤ −√6    or     x≥√6

ننتبه لهذه الحالة لأننا لا نقارن بالصفر ولدينا حد للتربيع.

او الحالة الثانية للقيمة المطلقة

EQ1.2E-(x²−1) ≥ 5
⇒ x² ≤ -4
وهي غير محققة او مستحيلة الحل. وبالتالي تكون مجموعة الحول هي:

[

Solution:	x≤ −√6 or x≥√6
Decimal:	x≤ −2.44948… or x≥ 2.44948…
Interval Notation:	(−∞ , −√6]∪ [√6, ∞ )

]

حل متراجحة كسرية من الدرجة الثانية

وهذا مثال آخر عن متراجحة كسرية من الدرجة الثانية, لتكن المتراجحة التالية التي تحتوي على كسر في الطرفين:

EQ1.2E[x²+2x]/[3] ≥ [3x²]/[5]

نضرب الطرفين بالوسطين

EQ1.2E5[x²+2x]≥ 3[3x²]

ننقل 9x² الموجودة في الطرف الايمن لليسار ونغير إشارتها:

EQ1.2E5x²+10x-9x²≥ 0
-4x²+10x≥ 0

نخرج عامل مشترك لتصبح جداء قوسين:

EQ1.2E-2x(2x-5)≥ 0
نضرب طرفي المتراجحة بـ-1 ونقلبها:
2x(2x-5)≤ 0
نقسم الطرفين على 2
x(2x-5)≤ 0

ويكون مجال الحل الذي يحقق المتراجحة كما في التمرين الثالث:

[

Solution: ​	0≤ x≤52
Decimal:	0 ≤ x ≤ 2.5
Interval Notation:	[0, 52 ]

]