تمارين معادلات من الدرجة الثانية

سنتحدث في مقالنا عن طريقة وحل تمارين معادلات من الدرجة الثانية لطلاب أول ثانوي بشكل خاص مع إمكانية تحميل التمارين كـ PDF في نهاية المقال. وننوه أن حلول المعادلات هنا هي في مجموعة الأعداد الحقيقة والعقدية. فإن طلب منك في مجموعة الأعداد الحقيقة (ح) فقم بالحل وفق المجموعة حيث إذا كان دلتا أصغر من الصفر فليس للمعادلة حل.

يمكنك الاطلاع على مقال حل معادلة من الدرجة الثانية اون لاين من أجل حل أي معادلة عن طريق إدخال معاملات المعادلة بالاضافة إلى رسم الخط البياني الذي يظهر لك الحلول وتقاطعها مع محور العينات Y.

طريقة حل المعادلة من الدرجة الثانية

لنحل المعادلة أولا يجب إصلاحها واختصارها لنصل إلى شكلها العام وهو:

\[ax^2+bx+c=0\]

حيث نلاحظ أن a هو رقم مضروب بـx² ويسمى أمثال x².
وكذلك b هو رقم مضروب بـx ويسمى أمثال x.

و c هي العدد الثابت أو الرقم الحر في المعادلة إن لم نجده فتكون قيمته صفر.

لإيجاد حل معادلة من الدرجة الثانية نوجد أولا المميز دلتا الذي يساوي \(△=b^2-4 a c\).

الآن نميز 3 حالات:

1. دلتا اكبر من الصفر : للمعادلة حلان. \(x_{1,2}=\frac{-b±√△}{2a}\) متساويان بالقيمة المطلقة ومختلفان بالاشارة.
2. دلتا أصغر من الصفر : المعادلة مستحيلة الحل في R (يمكن حلها في C مجموعة الأعداد العقدية)
3. دلتا تساوي الصفر : للمعادلة حل وحيد \(x=\frac{-b}{2a}\)

تمارين المعادلات من الدرجة الثانية (للصف اول ثانوي)

إليكم 5 تمارين لمعادلات من الدرجة الثانية سنوجد حلولها ونفصل جميع الحالات للمميز دلتا حتى يتمكن الطالب من حلها بجميع حالاتها:

1. −5x2+3x–2.3=0
2. −5x2+6x+1.3=0
3. 4x2+2x–9=0
4. x2+3x+94=0
5. (3/5)×2+−√(6/5)x+12=0

حل المعادلات من الدرجة الثانية السابقة

فيما يلي إليكم حلول المعادلات السابقة بشكل كامل وخصوصا لطلاب الصف اول ثانوي والثالث متوسط:

التمرين الأول

اوجد حلول المعادلة التالية:

\[ -5x^2 + 3x – 2.3 = 0 \]

باستخدام الصيغة العامة لحل المعادلة من الدرجة الثانية حيث: a = -5, b = 3, وكذلك c = -2.3

\[ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{ 2a } \]\[ x = \frac{ -3 \pm \sqrt{3^2 – 4(-5)(-2.3)}}{ 2(-5) } \]\[ x = \frac{ -3 \pm \sqrt{9 – 46}}{ -10 } \]\[ x = \frac{ -3 \pm \sqrt{-37}}{ -10 } \]

المميز دلتا أصغر من الصفر \( b^2 – 4ac < 0 \) وبالتالي للمعادلة جذران عقديان

نحاول تبسيط x:

\[ x = \frac{ -3 \pm \sqrt{37}\, i}{ -10 } \]\[ x = \frac{ -3 }{ -10 } \pm \frac{\sqrt{37}\, i}{ -10 } \]

نحاول اختصار الإشارات والكسور x:

\[ x = \frac{ 3}{ 10 } \pm \frac{ \sqrt{37}\, i}{ 10 } \]

وبالتالي تكون جذور المعادلة:

\[ x = 0.3 + -0.608276 \, i \]\[ x = 0.3 – -0.608276 \, i \]

التمرين الثاني

أوجد حلول المعادلة التالية من الدرجة الثانية وارسم التابع الخاص بالمعادلة:

\[ -5x^2 + 6x + 1.3 = 0 \]

الحل: باستخدام صيغة حل المعادلة من الدرجة الثانية حيث a = -5, b = 6, وكذلك c = 1.3 يكون

\[ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{ 2a } \]\[ x = \frac{ -6 \pm \sqrt{6^2 – 4(-5)(1.3)}}{ 2(-5) } \]\[ x = \frac{ -6 \pm \sqrt{36 – -26}}{ -10 } \]\[ x = \frac{ -6 \pm \sqrt{62}}{ -10 } \]

المميز دلتا \( b^2 – 4ac > 0 \) وبالتالي فإن للمعادلة حلان حقيقيان

لا يمكن التبسيط أكثر من ذلك:

\[ x = \frac{ -6 \pm \sqrt{62}\, }{ -10 } \]\[ x = \frac{ -6 }{ -10 } \pm \frac{\sqrt{62}\, }{ -10 } \]

بتبسيط الكسر والإشارات:

\[ x = \frac{ 3}{ 5 } \pm \frac{ \sqrt{62}\, }{ 10 } \]

وبالتالي تكون قيمة الحلول:

\[ x = -0.187401 \]\[ x = 1.3874 \]

التمرين الثالث

لتكن لديك المعادلة التالية:

\[ 4x^2 + 2x – 9 = 0 \]

أوجد حلول المعادلة باستخدام المميز دلتا

الحل: نلاحظ ان قيم المعاملات a = 4, b = 2, وكذلك c = -9

\[ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{ 2a } \]\[ x = \frac{ -2 \pm \sqrt{2^2 – 4(4)(-9)}}{ 2(4) } \]\[ x = \frac{ -2 \pm \sqrt{4 – -144}}{ 8 } \]\[ x = \frac{ -2 \pm \sqrt{148}}{ 8 } \]

دلتا أكبر من الصفر \( b^2 – 4ac > 0 \) وبالتالي فإن للمعادلة جذران

نوجد قيمة x:

\[ x = \frac{ -2 \pm 2\sqrt{37}\, }{ 8 } \]\[ x = \frac{ -2 }{ 8 } \pm \frac{2\sqrt{37}\, }{ 8 } \]

نقوم بإصلاح الحل:

\[ x = -\frac{ 1}{ 4 } \pm \frac{ \sqrt{37}\, }{ 4 } \]

وبالتلي تكون قيمتي x

\[ x = 1.27069 \]\[ x = -1.77069 \]

التمرين الرابع

أوجد قيمة x إذا كان لديك المعادلة التالية

وارسم التابع الخاص بالمعادلة

\[ 1x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 0 \]

نستخدم الصيغة العامة في حل المعادلة من الدرجة الثانية حيث a = 1, b = 3, وكذلك c = \(\frac{9}{4}\)

\[ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{ 2a } \]\[ x = \frac{ -3 \pm \sqrt{3^2 – 4(1)(\frac{9}{4})}}{ 2(1) } \]\[ x = \frac{ -3 \pm \sqrt{9 – 9}}{ 2 } \]\[ x = \frac{ -3 \pm \sqrt{0}}{ 2 } \]

المميز دلتا discriminant \( b^2 – 4ac = 0 \) وبالتالي للمعادلة جذر وحيد مضاعف

\[ x = \frac{ -3}{ 2 } \]

وبالتالي تكون قيمة x:

\[ x = -1.5 \]

التمرين الخامس

أوجد مجموعة حلول المعادلة التالي:

\[ \frac{3}{5}x^2 + \sqrt{\frac{ 6}{ 5 }}x + \frac{1}{2} = 0 \]

نلاحظ أن قيمة المعاملات في المعادلة \(a = \frac{3}{5}, b = \sqrt{\frac{6}{5}}\), وكما أن \(c = \frac{1}{2}\)

\[ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{ 2a } \] \[ \frac{3}{5}x^2 + \sqrt{\frac{ 6}{ 5 }}x + \frac{1}{2} = 0 \] \[ x = \frac{ – \sqrt{\frac{ 6}{ 5 }} \pm \sqrt{(\sqrt{\frac{ 6}{ 5 }})^2 – 4(\frac{3}{5})(\frac{1}{2})}}{ 2(\frac{3}{5}) }\] \[ x = \frac{ – \sqrt{\frac{ 6}{ 5 }} \pm \sqrt{\frac{ 6}{ 5 } -\frac{6}{5}}}{ \frac{6}{5} }\] \[ x = \frac{ – \sqrt{\frac{ 6}{ 5 }}}{ \frac{6}{5} }\]

وكما نرى فإن المحدد دلتا يساوي الصفر \( b^2 – 4ac = 0 \) فللمعادلة جذر وحيد

\[ x = \frac{ – \sqrt{\frac{ 6}{ 5 }}}{ \frac{6}{5} } = \frac{ – \sqrt{\frac{ 6}{ 5 }}}{ \sqrt{\frac{ 6}{ 5 }} \sqrt{\frac{ 6}{ 5 }}}\] \[ x = – \sqrt{\frac{ 5}{ 6 }}\]

وبالتلي فإن الحل الوحيد يكون

\[ x = -0.9128 \]

فيديو شرح حل المعادلة من الدرجة الثانية باستخدام المميز دلتا

اختبر قدرتك على حل المعادلات

اختبر قدرتك على حل المعادلات من الدرجة الثانية مع الأسئلة التالية:

ما هي حلول المعادلات التالية اختر الاجابة الصحيحة:

\[ 4x^2 – 8x +1 = 0 \]

المعادلة الثانية

\[ 2x^2 = – 4x \]

المعادلة الثالثة:

\[ x^2 = -1 \]

يمكنك تحميل تمارين معادلة من الدرجة الثانية PDF.