جدول المحتويات
سنتعرف في مقالنا عن قوانين الاحتمالات وأنواع مسائل الاحتمالات وكيفية حلها وكافة القوانين التي يمكن من خلالها حل المسائل والتمييزة فيما بينها.
تعريف الاحتمال
يعرف الاحتمال بأنه مقياس لإمكانية وقوع حدث عشوائي من عدم وقوعه. على سبيل المثال إذا ألقينا حجر نرد في الهواء, فكم احتمال حصولنا على كتابة أم شعار؟
ولعلم الاحتمال استخدامات كبيرة وواسعة في شتى المجالات مثل التنبؤات الرياضية ونشرات الطقس وحتى في المجال الطبي لمعرفة عيناة الدم وكذلكفي علم الاجنة لتوقع جنس المولود داخل الرحم وفي التجارة لتوقع المبيعات..الخ.
قبل الشروع في الأمثلة والتطبيق العملي لا بد من ذكر مجموعة من التعاريف الهامة حول الاحتمال.
١- الحادث، التجربة، والفراغ العيني:
عندما نجري تجربة مثل رمي زهرة النرد، نلاحظ النتائج المختلفة. يمكن أن تظهر الأرقام 1، 2، 3، 4، 5، أو 6. إذا كنا مهتمين بظهور رقم فردي مثل 1 أو 3 أو 5، فإن رمي النرد يُعتبر تجربة. الرقم الفردي الذي نبحث عنه يُسمى حادثًا. أما كل النتائج الممكنة من التجربة فتُعرف بالفراغ العيني.
٢- الحالات الممكنة:
الحالات الممكنة هي النتائج التي يمكن أن تحدث عندما نجري تجربة معينة. مثلاً، عند رمي عملة، يمكن أن نحصل على صورة أو كتابة. وعند رمي زهرة النرد، يمكن أن نحصل على أي رقم من 1 إلى 6. لذلك، الحالات الممكنة للعملة هي 2، وللزهر هي 6.
٣- الحالات المواتية:
الحالات المواتية هي النتائج التي تساعدنا في تحقيق الحادث الذي نريده. إذا كان هدفنا هو الحصول على رقم زوجي عند رمي زهرة النرد، فإن الأرقام 2 و4 و6 هي الحالات المواتية. هذه الأرقام الثلاثة تحقق ما نبحث عنه.
٤- الحالات المتماثلة:
الحالات المتماثلة هي عندما يكون لدينا أشياء متشابهة تمامًا. مثل كرات مصنوعة من نفس المادة ولها نفس الوزن والحجم. إذا خلطناها في كيس وسحبنا واحدة، فإن لكل كرة نفس الفرصة في أن تُسحب.
٥- الحوادث المتنافية:
الحوادث المتنافية هي الحوادث التي لا يمكن وقوعها في نفس الوقت. مثلاً، عند رمي عملة معدنية، لا يمكن أن يظهر شعار وكتابة في نفس اللحظة. إذا حدث أحدهما، فلا يمكن أن يحدث الآخر.
٦- الحوادث المستقلة:
الحوادث المستقلة تعني أن وقوع أحد الحوادث لا يؤثر على الآخر. مثلاً، إذا رمينا عملة مرتين، فإن نتيجة الرمية الثانية لا تتأثر بنتيجة الرمية الأولى. كل رمية مستقلة عن الأخرى تماماً.
٧- الحوادث الشاملة:
الحوادث الشاملة هي مجموعة من الأحداث التي يجب أن يحدث أحدها عند إجراء تجربة معينة. إذا كانت لدينا أحداث A وB وC، فإنه من المؤكد أن واحدًا منها سيحدث عند إجراء التجربة.
كانت هذه تعاريف اساسية ستساعدنا لفهم المسائل في الاحتمالات. ويرمز للاحتمال بالرمز P.
مسائل حول الاحتمالات
المسألة الأولى
عند رمي حجر نرد مرة واحدة ما هو احتمال الحصول على عدد زوجي؟
الحل : الحصول على عدد زوجي معناه الحصول على 2 أو 4 أو 6 وهذه الأحداث الثلاث متنافية أي عند وقوع أحدها لا يمكن وقوع الآخر. وبالتالي يكون:
P (عدد زوجي) = P (2) + P (4) + P (6)
المسألة الثانية
عند رمي حجر نرد مرتين ما هو احتمال الحصول على وجهين متشابهين؟
إن الحصول على وجهين متشابهين يعني الحصول على (1و1) او (2و2) وهكذا. لنكتب كل الاحتمالات الممكنة (الفضاء الاحتمالي) عند ركي جدر النرد مرتين متتاليتين في الجدول التالي.
| الاحتمال | الاحتمال | الاحتمال | الاحتمال | الاحتمال | الاحتمال |
|---|---|---|---|---|---|
| (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
نلاحظ أن عدد الاحتمالات الكلية أو المواتية هي 36 احتمال وأن الاحتمال الأول (1 , 1) احتمال وقوعه 1/36 وكذلك الحصول على (2, 2) هو 1/36.
وبالتالي احتمال الحصول على وجوه متشابهة يكون:
المسألة الثالثة
تم اختيار طالبان من أصل 4 طلاب لتمثيل الصف في مؤتمر علمي ووقع الاختيار على الطالبين A , B. ما هو احتمال اختيار هذين الطالبين معاً قبل تنفيذ عملية الاختيار وما هو احتمال اختيار أحد الطالبنA أو B.
الحل: إن أهم ما في مسائل الاحتمالات هو معرفة عدد الحالات الممكنة. وفي هذه التجربة تم اختيار طالبين من أصل 5. لنكتب الحالات الممكنة في جدول:
نفرض أسماء الطلاب الباقين هي C , D وباتالي يكون فضاء العينة:
P = {AB, AC, AD, BC, BD, CD}
| الاحتمال | احتمالات اختيار طالبين |
| 1 | A,B |
| 2 | A,C |
| 3 | A,D |
| 4 | B,C |
| 5 | B,D |
| 6 | C,D |
نلاحظ ان الاحتمالات الكلية الممكنة هي 6 احتمالات ,واحتمال اختيار الطالبين A و B معاً هي احتمال واحد من أصل 6 أحتمالات أي 1/6
نرمز لاحتمال حدثين معا بالرمز ∩ وهو رمز التقاطع أي يمكن التعبير عما سبق بما يلي:
PA∩B
بالنسبة لحتمال اختيار أحد الطالبين A و B. نرمز لحتمال وقوع أحد الحدثين بالرمز U وهو رمز الاجتماع. وباأتالي الحدث المطلوب P(A U B)
احتمال اختيار أحد الطالبين هي كل الاحتمالات عدا الاحتمال C,D أي 5 احتمالات من أصل 6 أي 5/6.
احتمال اختيار الطالب الاول A
PA = {(A,B) , (A,C) , (A,D)}
أي احتمال PA هي 3 احتمالات من أصل 6 أي PA = 3/6
واحتمال اختيار الطالب B
PB = {(B,A) , (B,C) , (B,D)}
أي احتمال PB هي 3 احتمالات من أصل 6 أي PB = 3/6
P(A أو B) = PA + PB - PA∩B
P(A U B) = PA + PB - PA∩B
= 3/6 + 3/6 - 1/6 = 5/6
لاحظ لا يمكننا ببساطة جمع الاحتمالين PA و PB لتكون النتيجة 3/6+3/6 ويكنون الناتج 1 وليس 5/6 ويجب طرح احتمال التقاطع وهو الاحتمال A,B ويساوي 1/6. لماذا؟
لأن الحدثين اختنيار احد الطالبين ليسا حذثين متنافيين أي وقوع احدهما ممكن مع حدوث الآخر وبالتالي هناك احتمالات مشتركة.
هذا القانون P(A أو B) = PA + PB - PA∩B ليس صحيح دائماً عليك دائما فهم المسألة.
المسألة الرابعة
ليكن لدينا مجموعة اوراق اللعب (الشدة) ونقوم بسحب ورقة واحدة.
- ما احتمال الحصول على عدد؟
- ما احتمال الحصول على ورقة كبة
- ما حتمال الحصول على ورقة 7 الكبة
- ما احتمال الحصول على الاوراق ذات الصور فقط
- ما احتمال الحصول على كبة أو بستون
- ما احتمال الحصول على ورقة عدد أو من أحد المجموعات الأربعة (بستون, كبة..الخ)
الحل:
اولا الاحتمالات الكلية الممكنة هي 52 أي عدد أوراق اللعبة
وبالتالي كون حل السؤال الأول الحصول على عدد هي أي عدد عدا الصور. أي 10×4 أي 40 من أصل 52 أي 40/52.
P Number = 40/52
احتمال الحصور على ورقة كبة: هناك 13 ورقة كبة (اعداد وصور) أي 13/52
احتمال الحصول على ورقة 7 الكبة: وهي ورقة وحيدة أي 1/52
احتمال الحصول على الأوراق ذات الصور: هناك 12 صورة في الشدة أي الاحتمال 12/52
احتمال الحصول على كبة أو بستون: عدد أوراق الكبة 13 مع الصور وعدد أوراق البستون 13 أيضا وبالتالي يكون الاحتمال 26/52
بالنسبة لآخر سؤال فيه احتمالات متداخلة وبالتالي يجب طرح الاحتمالات المشتركة وتطبيق القانون
P(A أو B) = PA + PB - PA∩B
حسبنا في السؤال الاول احتمال الحصول على عدد = 40/52 ولنرمزه بالرمز PA
احتمال الحصول على أحد المجموعات الاربعة 13/52 ,ولنرمزه بالرمز PB
وبالتالي احتمال الحصول على عدد من احد المجموعات PA∩B =10/52
وبالتالي احتمال الحصول على عدد أو من أحد المجموعات الأربعة يكون
P(A أو B) = PA + PB - PA∩B
P(A U B) = PA + PB - PA∩B
P(A U B) = 40/52 + 13/52 - 10/52 = 43/52
للمزيد من الشروح يرجى الكتابة في التعليقات