مسائل في الاحتمالات

سنتعرف في مقالنا عن قوانين الاحتمالات وأنواع مسائل الاحتمالات وكيفية حلها وكافة القوانين التي يمكن من خلالها حل المسائل والتمييز فيما بينها.

تعريف الاحتمال

يعرف الاحتمال بأنه مقياس لإمكانية وقوع حدث عشوائي من عدم وقوعه. على سبيل المثال إذا ألقينا قطعة نقد معدنية في الهواء, فكم احتمال حصولنا على كتابة أو شعار؟

باعتبار تساوي فرص الحصول على كتابة أو شعار. نقول احتمال الحصول على كتابة 50% أو 0.5 من 1. واحتمال الحصول على شعار 50% أيضاً او 0.5 بسبب تساوي وتجانس قطعة النقد.

وحسابياً يمكننا القول أن الاحتمال يساوي عدد الحالة المطلوبة ÷ عدد الحالات الكلية

وهنا احتمال الحصول على شعار هو احتمال واحد والحالات الكلية عما حالتان (شعار وكتابة) وبالتالي يكون الاحتمال 1÷2 = 0.5

ولعلم الاحتمال استخدامات كبيرة وواسعة في شتى المجالات مثل التنبؤات الرياضية ونشرات الطقس وحتى في المجال الطبي لمعرفة عيناة الدم وكذلكفي علم الاجنة لتوقع جنس المولود داخل الرحم وفي التجارة لتوقع المبيعات..الخ.

قبل الشروع في الأمثلة والتطبيق العملي لا بد من ذكر مجموعة من التعاريف الهامة حول الاحتمال.

١- الحادث، التجربة، والفراغ العيني:

عندما نجري تجربة مثل رمي زهرة النرد، نلاحظ النتائج المختلفة. يمكن أن تظهر الأرقام 1، 2، 3، 4، 5، أو 6. إذا كنا مهتمين بظهور رقم فردي مثل 1 أو 3 أو 5، فإن:

1. رمي النرد يُعتبر تجربة.
2. الرقم الفردي الذي نبحث عنه يُسمى حدثًا.
3. أما كل النتائج الممكنة من التجربة فتُعرف بالفراغ العيني. والذي يساوي هنا {1,2,3,4,5,6}

٢- الحالات الممكنة:

الحالات الممكنة هي النتائج التي يمكن أن تحدث عندما نجري تجربة معينة. مثلاً، عند رمي عملة، يمكن أن نحصل على صورة أو كتابة. وعند رمي زهرة النرد، يمكن أن نحصل على أي رقم من 1 إلى 6. لذلك، عدد الحالات الممكنة للعملة هي 2، وللزهر هي 6.

٣- الحالات المواتية:

الحالات المواتية هي النتائج التي تساعدنا في تحقيق الحادث الذي نريده (أو هي الأحداث المطلوب دراسة احتمال وقوعها). إذا كان هدفنا هو الحصول على رقم زوجي عند رمي زهرة النرد، فإن الأرقام 2 و4 و6 هي الحالات المواتية. هذه الأرقام الثلاثة تحقق ما نبحث عنه.

٤- الحالات المتماثلة:

الحالات المتماثلة هي عندما يكون لدينا أشياء متشابهة تمامًا. مثل كرات مصنوعة من نفس المادة ولها نفس الوزن والحجم. إذا خلطناها في كيس وسحبنا واحدة، فإن لكل كرة نفس الفرصة في أن تُسحب.

٥- الحوادث المتنافية:

الحوادث المتنافية هي الحوادث التي لا يمكن وقوعها في نفس الوقت. مثلاً، عند رمي عملة معدنية، لا يمكن أن يظهر شعار وكتابة في نفس اللحظة. إذا حدث أحدهما، فلا يمكن أن يحدث الآخر.

٦- الحوادث المستقلة:

الحوادث المستقلة تعني أن وقوع أحد الحوادث لا يؤثر على الآخر. مثلاً، إذا رمينا عملة مرتين، فإن نتيجة الرمية الثانية لا تتأثر بنتيجة الرمية الأولى. كل رمية مستقلة عن الأخرى تماماً.

٧- الحوادث الشاملة:

الحوادث الشاملة هي مجموعة من الأحداث التي يجب أن يحدث أحدها عند إجراء تجربة معينة. إذا كانت لدينا أحداث A وB وC، فإنه من المؤكد أن واحدًا منها سيحدث عند إجراء التجربة.

كانت هذه تعاريف اساسية ستساعدنا لفهم المسائل في الاحتمالات. ويرمز للاحتمال بالرمز P.

مسائل حول الاحتمالات

المسألة الأولى

عند رمي حجر نرد مرة واحدة ما هو احتمال الحصول على عدد زوجي؟

الحل : الحصول على عدد زوجي معناه الحصول على 2 أو 4 أو 6 وهذه الأحداث الثلاث متنافية أي عند وقوع أحدها لا يمكن وقوع الآخر. وبالتالي يمكن جمعها:

P (عدد زوجي) = P (2) + P (4) + P (6

الحالات الكلية أو فضاء العينة = 6 لأن هناك 6 احتمالات عند رمي حجر النرد وهي {1,2,3,4,5,6} وعددها 6.

واحتمال الحصول على الرقم 2 مثلا هو احتمال واحد من أصل 6 احتمالات أي =1/6.. وبالمثل تكون احتمال الحصول على الرقم 4 أو 6

نلاحظ أن النتيجة 0.5 أو 50% وهي منطقة لأن عدد الأرقام الزوجية نصف عدد الأرقام الفردية في حجر النرد ومن الطبيعي أن تكون النسبة 50%.

المسألة الثانية

عند رمي حجر نرد مرتين ما هو احتمال الحصول على وجهين متشابهين؟

إن الحصول على وجهين متشابهين يعني الحصول على (1و1) او (2و2) وهكذا. لنكتب كل الاحتمالات الممكنة (الفضاء الاحتمالي) عند رمي جدر النرد مرتين متتاليتين في الجدول التالي.

الاحتمال	الاحتمال	الاحتمال	الاحتمال	الاحتمال	الاحتمال
(1, 1)	(1, 2)	(1, 3)	(1, 4)	(1, 5)	(1, 6)
(2, 1)	(2, 2)	(2, 3)	(2, 4)	(2, 5)	(2, 6)
(3, 1)	(3, 2)	(3, 3)	(3, 4)	(3, 5)	(3, 6)
(4, 1)	(4, 2)	(4, 3)	(4, 4)	(4, 5)	(4, 6)
(5, 1)	(5, 2)	(5, 3)	(5, 4)	(5, 5)	(5, 6)
(6, 1)	(6, 2)	(6, 3)	(6, 4)	(6, 5)	(6, 6)

نلاحظ أن عدد الاحتمالات الكلية أو الممكنة هي 36 احتمال وأن احتمال الحصول على (1 , 1) 1/36 وكذلك الحصول على (2, 2) هو 1/36.

وبالتالي احتمال الحصول على وجوه متشابهة يكون:

المسألة الثالثة

تم اختيار طالبين من أصل 4 طلاب لتمثيل الصف في مؤتمر علمي ووقع الاختيار على الطالبين A , B. ما هو احتمال اختيار هذين الطالبين معاً قبل تنفيذ عملية الاختيار وما هو احتمال اختيار أحد الطالبين A أو B.

الحل: إن أهم ما في مسائل الاحتمالات هو معرفة عدد الحالات الممكنة. وفي هذه التجربة تم اختيار طالبين من أصل 4. لنكتب الحالات الممكنة في جدول:

نفرض أسماء الطلاب الباقين هي C , D وباتالي يكون فضاء العينة:

P = {AB, AC, AD, BC, BD, CD}

الاحتمال	احتمالات اختيار طالبين
1	A,B
2	A,C
3	A,D
4	B,C
5	B,D
6	C,D

نلاحظ ان الاحتمالات الكلية الممكنة هي 6 احتمالات ,واحتمال اختيار الطالبين A و B معاً هي احتمال واحد من أصل 6 احتمالات أي 1/6

P(A&B) = 1/6

نرمز لاحتمال حدثين معا بالرمز ∩ وهو رمز التقاطع أي يمكن التعبير عما سبق بما يلي:

PA∩B = 1/6

بالنسبة لحتمال اختيار أحد الطالبين A أو B. نرمز لحتمال وقوع أحد الحدثين بالرمز U وهو رمز الاجتماع. وبالتالي الحدث المطلوب P(A U B)

احتمال اختيار أحد الطالبين برفقة أي طالب آخر هي كل الاحتمالات عدا الاحتمال C,D أي 5 احتمالات من أصل 6 أي 5/6. هكذا تحل بسهولة بدراسة الحالات الممكنة. ولكن رياضياً نحلها بالطريقة التالية:

حالات اختيار الطالب الاول A

P_A = {(A,B) , (A,C) , (A,D)}

أي احتمال P_A هي 3 احتمالات من أصل 6 أي PA = 3/6

احتمال اختيار الطالب A = عدد الحاللات المواتية ÷ عدد الحالات الممكنة = 3/6

واحتمال اختيار الطالب B

P_B = {(B,A) , (B,C) , (B,D)}

أي احتمال P_B هي 3 احتمالات من أصل 6 أي PB = 3/6

وهنا نستخدم القانون:

P(A أو B) = PA + PB - PA∩B

وهنا طرحنا التقاطع

لاحظ لا يمكننا ببساطة جمع الاحتمالين PA و PB لتكون النتيجة 3/6+3/6 ويكنون الناتج 1 وليس 5/6 ويجب طرح احتمال التقاطع وهو الاحتمال A,B ويساوي 1/6. لماذا؟

لأن حدث اختيار أحد الطالبين ليسا حدثين متنافيين أي وقوع احدهما ممكن مع حدوث الآخر وبالتالي هناك احتمالات مشتركة.

P(A U B) = PA + PB - PA∩B
= 3/6 + 3/6 - 1/6 = 5/6

هذا القانون P(A أو B) = PA + PB - PA∩B ليس صحيحاً دائماً عليك دائما فهم المسألة ومعرفة إن كانت الاحداث مستقلة أم غير مستقلة.

المسألة الرابعة

ليكن لدينا مجموعة اوراق اللعب (الشدة) ونقوم بسحب ورقة واحدة.

1. ما احتمال الحصول على عدد؟
2. ما احتمال الحصول على ورقة كبة
3. ما حتمال الحصول على ورقة 7 الكبة
4. ما احتمال الحصول على الاوراق ذات الصور فقط
5. ما احتمال الحصول على كبة أو بستون
6. ما احتمال الحصول على ورقة عدد أو من أحد المجموعات الأربعة (وليكن البستون)

الحل:

اولا الاحتمالات الكلية الممكنة (فضاء العينة) من سحبة ورقة واحدة هي 52 احتمال أي عدد أوراق اللعبة.

وبالتالي يكون حل السؤال الأول الحصول على عدد هي 40 احتمال من أصل 52 أي 40/52 لأن هناك 40 ورقة تحمل أعدادا والباقي صور..

P Number = 40/52

احتمال الحصور على ورقة كبة: هناك 13 ورقة كبة (اعداد وصور) أي 13/52

احتمال الحصول على ورقة 7 الكبة: وهي ورقة وحيدة في الشدة أي هناك احتمال واحد من أصل 52 أي 1/52

احتمال الحصول على الأوراق ذات الصور: هناك 12 صورة في الشدة أي الاحتمال 12/52

احتمال الحصول على كبة أو بستون: هنا ننتبه ل -أو- وباعتبار أنها أحداث مستقلة وسنسحب سحبة واحدة.. يمكن جمع الأحداث. هي أحداث مستقلة,فلا يمكن بسحب ورقة واحدة وقوع الحدثين معا (ورقة كبة وورقة بستون!).

عدد أوراق الكبة 13 مع الصور وعدد أوراق البستون 13 أيضا وبالتالي يكون احتمال الحصول على ورقة كبة أو بستون 26/52.

احتمال الحصول على ورقة عدد أو من أحد المجموعات الأربعة

بالنسبة لهذا السؤال, فيه احتمالات متداخلة (غير مستقلة), وبالتالي يجب طرح الاحتمالات المشتركة وتطبيق القانون

P(A أو B) = PA + PB - PA∩B

حسبنا في السؤال الاول احتمال الحصول على عدد = 40/52 ولنرمزه بالرمز P_A

احتمال الحصول على البستون 13/52 ,ولنرمزه بالرمز P_B

وبالتالي احتمال الحصول على عدد من البستون PA∩B =10/52

وبالتالي احتمال الحصول على عدد أو من أحد المجموعات الأربعة يكون

P(A أو B) = PA + PB - PA∩B

P(A U B) = PA + PB - PA∩B

P(A U B) = 40/52 + 13/52 - 10/52 = 43/52

للمزيد من الشروح يرجى الكتابة في التعليقات