جدول المحتويات
مساحة المثلث متساوي الساقين هي مقدار المساحة المحصورة بين أضلاعه. يمكننا حساب مساحة المثلث متساوي الساقين من خلال العلاقة العامة لمساحة المثلث وهي نصف طول القاعدة × الارتفاع ، ولكن في بعض الأحيان لا يعطى لنا طول القاعدة وتعطى إحدى الزوايا مثلا. هنا نلجأ إلى قوانين أخرى سنتعلمها في هذا المقال, وفيما يلي ملخص عن أنواع المثلث وفقا للأضلاع:
- مثلث متساوي الأضلاع: وهو مثلث متساوي الساقين تساوت طول قاعدته مع إحدى ساقيه.
- مثلث متساوي الساقين: مثلث تساوى طولي ضلعين فيه وبالتالي فيه زاويتين متساويتين.
- مثلث سكلين: وهو مثلث أطوال أضلاع الثلاث مختلفة.
ما هي مساحة المثلث متساوي الساقين
إن مساحة المثلث متساوي الساقين هي المساحة المحصورة بين أضلاع المثلث الثلاث في المستوي ثنائي البعد. وكما نعرف إن المثلث متساوي الساقين هو المثلث الذي يمتلك ضلعين متساويتين وبالتالي يمتلك زاويتين متساويتين.
وكما نعرف فإن مجموع زوايا المثلث ثابتة وهي 180 درجة وبالتالي إذا عرفنا إحدى الزاويتين المتساويتين يمكننا معرفة كافة زوايا المثلث.
سنذكر بعض خواص المثلث متساوي الساقين والتي تميزه عن باقي أنواع المثلثات الأخرى:
- تسمى الضلعين المتساويتين في المثلث بـ ساقي المثلث وتسمى الزاوية المحصورة بينهما بزاوية رأس المثلث.
- تسمى الضلع المقابلة لزاوية رأس المثلث بالقاعدة وتكون الزاويتان المجاورتان لها متساويتين.
- العمود النازل من زاوية الرأس إلى القاعدة يقسم القاعدة إلى قطعتين متساويتين, وزاوية رأس المثلث إلى زاويتين متساويتين (أي هو منصف ومتوسط).
ان المساحة تقدر بالوحدة المربعة, حيث يمكن تقدير مساحة المثلث ب المتر مربع م2 او السنتيمتر مربع سم2 او إنش مربع ..الخ.
قانون مساحة المثلث متساوي الساقين
وكما عرفنا فإن مساحة المثلثي هي المساحة المحصورة بين أضلاعه الثلاث في المستوي ثنائي البعد. ويمكن معرفتها من خلال مجموعة من القوانين (وفقا للمعطيات التي تعطى لنا).
القانون الأساسي لحساب مساحة المثلث متساوي الساقين هو (½ القاعدة × الارتفاع). وهو قانون عام يمكن تطبيقه على كافة أنواع المثلثات.
فيما يلي ملخص لأهم القواعد أو القوانين المستخدمة في حساب مساحة المثلث متساوي الساقين وفقا للمعطيات في نص المسألة.
| المعلوم من المثلث | القاعدة المستخدمة |
|---|---|
| القاعدة والارتفاع المتعلق بها | مساحة المثلث = 0.5 القاعدة × الارتفاع |
| ساق المثلث والمثلث قائم ومتساوي الساقين | مساحة المثلث = 0.5 × طول الضلع2 |
| الاضلاع الثلاث | Area = 1/4 × b × √ |
| ضلعين وزاوية بينهما | Area = ½ × b × a × sin(α) |
| زاويتين وضلع بينهما | Area = [a2 × sin(β/2) × sin(α)] |
حساب مساحة المثلث متساوي الساقين بمعرفة أطوال أضلاعه
يمكن من خلال معرفة طول إحدى الضلعين المتساويتين والقاعدة حساب مساحة المثلث من خلال القانون:
حيث أن
- b هي طول قاعدة المثلث
- a هي طول إحدى الضلعين المتساويتين
وهو مشتق في الحقيقة من القانون السابق ويمكن البرهان على ذلك بسهولة, ولكن ليس هنا مجال بحثنا في هذا المقال.
مثال: احسب مساحة المثلث متساوي الساقين اذا علمت أن BC = 4 و AB = 3
الحل: كما نلاحظ فإن طول القاعدة BC = 4 وطول إحدى الضلعين المتساويتين 3. يمكننا تطبيق القانون السابق لحساب مساحة المثلث:
Area = 1/4 × b × √(4× a2 – b2)
= 1/4 × 4 × √(4× 32 – 42
= 1 × √( 36 – 16) = √20 = √(4×5) = 2√5 = 4.472
مساحة المثلث متساوي الساقين باستخدام قانون هيرون
يمكن استخدم قانون هيرون لحساب مساحة المثلث عند معرفة أطوال أضلاعه الثلاثة. ولا فرق هنا, حيث يمكن استخدام القانون السابق لو أردنا لأن الأضلاع كلها معروفة في هذه الحالة والحالة السابقة.
حيث أن:
- s هي نصف محيط المثلث, أي
(a+b+c)÷2:حيث أن b في القانون تمثل إحدى الاضلاع وليس القاعدة - a و b و c هي أطوال أضلاع المثلث.
مساحة المثلث متساوي الساقين باستخدام قوانين المثلثات
يمكن حساب مساحة المثلث متساوي الساقين بتطبيق القواعد الأساسية للمثلثات. وذلك عند معرفة قياس زاوية والضلعين المحصورة بينهما أو عند معرفة طول ضلع والزاويتين المجاورتين له. (زاوية + ضلعين أو ضلعين+ زاوية)
يكون قانون المساحة في حال معرفة طول ضلعين وزاوية محصورة بينهما:
Area = ½ × b × a × sin(α)
حيث α هي قياس الزاوية و a, b طولي الضلعين المجاورين للزاوية.
ويكون قانون مساحة المثلث متساوي الساقين عند معرفة زاويتين والضلع المحصور بينهما:
Area = [a2 × sin(β/2) × sin(α)]
حيث a هي الضلع المحصور بين الزاويتين α و β (ألفا وبيتا).
قانون حساب مساحة المثلث متساوي الساقين قائم الزاوية
المثلث متساوي الساقين القائم هو مثلث قائم تساوى طول ضلعيه القائمتين, وبالتالي تكون زاوية الرأس = 90° والزاويتين المتساويتين كل منهما 45°. والقاعدة هي وتر المثلث.
قانون حساب مساحة المثلث المتساوي الساقين قائم الزاوية = 0.5 × طول الضلع القائمة 2
Area = ½ × a2
حيث a هي طول إحدى الضلعين القائمتين.
يمكن استنتاج القانون السابق بسهولة من أي من القوانين السابقة.
مسائل مساحة المثلث متساوي الساقين
مسألة 1: أوجد مساحة المثلث متساوي الساقين إذا علمت أن طول إحدى ساقيه 5سم وطول القاعدة 11سم.
الحل: لنكتب معطيات المسألة:
- طول إحدى ساقي المثلث 5سم أي
a = 6 - طول القاعدة 11سم أي
b= 4
يمكننا تطبيق القانون: Area = 1/4 × b × √(4× a2 – b2)
Area = 1/4 × 4 × √(4× 62 – 42)
Area = 1 × √(128)
Area = 1 × √(64×2)
Area = 8√2
ِمساحة المثلث = 11.31 سم2
مسألة 2: ليكن لدينا المثلث ABC طول قاعدته AC = 10 متر وطول الارتفاع المتعلق بالقاعدة =17
الحل: لدينا القاعدة = 10 م2 أي b=10 ولدينا طول الارتفاع 17 م2 أي h = 17. مقوم بتطبيق القانون العام لحساب مساحة المثلث وهو 0.5 × b × h
Area = 0.5. b. h
Area = 0.5 × 10 × 17
المساحة = 85 م2
مسألة 3: احسب مساحة مثلث متساوي الساقين إذا علمت ان إحدى ساقيه 10سم زاوية الرأس 90.
الحل: نلاحظ أن المثلث متساوي الساقين وقائم الزاوية وبالتالي يمكننا تطبيق القانون التالي بشكل مباشر: مساحة المثلث = 0.5 × طول ضلع المثلث 2
Area = 0.5× a2
Area = 0.5 × 102
المساحة = 50 sسم2
