سنقدم لكم حل المعادلة \(x^2 + 2x + 3 = 0\) بطريقتين:
حل المعادلة x^2 + 2x + 3 = 0 باستخدام المميز (طريقة دلتا)
هذه الطريقة تعتمد على صيغة المميز لحساب جذور المعادلة التربيعية.
نقوم أولا بتحديد المعاملات. المعادلة على الصورة القياسية \(ax^2 + bx + c = 0\). نحدد المعاملات من المعادلة المعطاة:
$$a = 1$$ $$b = 2$$ $$c = 3$$
نقوم بعدها بحساب المميز (\(\Delta\)). معادلة المميز هي: $$\Delta = b^2 – 4ac$$. نقوم بالتعويض بالقيم التي استنتجناها:
$$\Delta = (2)^2 – 4(1)(3)$$ $$\Delta = 4 – 12$$ $$\Delta = -8$$
المميز \(\Delta = -8\) وهو أصغر من الصفر (\(\Delta < 0\))، هذا يعني أن المعادلة ليس لها حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية. لديها حلان عقديا (مركبان).
معادلة الجذور هي: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$. بالتعويض نجد:
$$x = \frac{-(2) \pm \sqrt{-8}}{2(1)}$$ $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}i}{2}$$ (حيث \(i = \sqrt{-1}\))
$$x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}i}{2}$$
نقسم البسط والمقام على 2:
$$x = -1 \pm \sqrt{2}i$$
الحلول العقدية:
$$x_1 = -1 + \sqrt{2}i$$ $$x_2 = -1 – \sqrt{2}i$$
يمكنك الاستعانة بحاسبة حل المعادلة من الدرجة الثانية للتأكد من الحلول.
حل المعادلة بطريقة إكمال المربع
هذه الطريقة تحول المعادلة إلى صورة مربع كامل، مما يسهل إيجاد الحلول.
نقوم بنقل الحد الثابت إلى الطرف الآخر:
$$x^2 + 2x = -3$$
لجعل الطرف الأيسر مربعًا كاملًا على الشكل \((x+k)^2\)، نضيف مربع نصف معامل \(x\) إلى كلا الطرفين. معامل \(x\) هو 2، ونصفه هو 1، ومربع نصفه هو \(1^2 = 1\).
$$x^2 + 2x + 1 = -3 + 1$$
الطرف الأيسر أصبح مربعًا كاملًا:
$$(x + 1)^2 = -2$$
نقوم باخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين:
$$x + 1 = \pm\sqrt{-2}$$ $$x + 1 = \pm\sqrt{2}i$$
(حيث \(i = \sqrt{-1}\)). الآن نقوم بعزل \(x\)
$$x = -1 \pm \sqrt{2}i$$
وباالتالي تكون حلول المعادلة:
$$x_1 = -1 + \sqrt{2}i$$ $$x_2 = -1 – \sqrt{2}i$$
نلاحظ أن الطريقتين، نجد أن جذور المعادلة \(x^2 + 2x + 3 = 0\) هي حلول عقدية مترافقة:
$$x_1 = -1 + \sqrt{2}i$$ $$x_2 = -1 – \sqrt{2}i$$
قد يهمك حل المعادلات التالية:
