حل معادلة من الدرجة الثالثة اون لاين Cubic Equation Solver

سنتناول في المقالة هذه طريقة حل معادلة من الدرجة الثالثة Cubic Equation. ونقدم لكم برنامج الحساب الفوري لحلول أي معادلة من الدرجة الثالثة يقوم المستخدم بإدخال بارامتراتها a, b, c, d. ونقدم لكم أيضاً العديد من تمارين معادلات من الدرجة الثالثة التي تساعدكم على الفهم.

الصيغة العامة للمعادلة الرياضية من الدرجة الثالثة:

حيث إن كل من a,b,c هي أمثال x بينما d هو ثابت عددي.

شروط المعادلة : a لا يساوي الصفر.

طريقة حل المعادلة من الدرجة الثالثة

عادة ما يتم حل معادلة من الدرجة الثالثة من قبل الطلاب بتحويلها إلى معادلة من الدرجة الثانية, إما باختصار بعض القيم والتخلص منها بطريقة أو بأخرى, او عن طريق تجميع المعادلة ضمن أقواس (فيها قيم x من الدرجة الأولى او الثانية) مضروبة ببعضها ويكون الطرف الثاني للمعادلة مساويا للصفر. وبالتالي كل قوس من تلك الأقواس يكون مساوياً للصفر ويحمل قيمة أو أكثر لحلول المعادلة.

حل معادلة من الدرجة الثالثة بالتحليل

يمكننا حل معادلة رياضية تكعيبية من الدرجة الثالثة بالتحليل. على فرض لدينا المعادلة التالية:

 2x³ + 3x² – 11x – 6 = 0

لاحظ المعامل d=6 عوامله الأولية 1,2,3,6 (عوامل العدد هي الأرقام التي يمكن بضربها ببعضها الحصول على العدد راجع الأعداد الأولية) لنعوض العوامل الأولية في المعادلة:

f (1) = 2(1)³ + 3(1)² – 11×(1) – 6 ≠ 0 المعادلة غير محققة
f (–1) = –2 + 3 + 11 – 6 ≠ 0 المعادلة غير محققة
f (2) = 16 + 12 – 22 – 6 = 0 محققة

إذن بلا شك الحل الأول للمعادلة هو 2

يمكن من خلال تفريق المعادلة إلى أقواس Synthetic division إيجاد باقي الحلول. باعتبار 2 هو أحد الحلول نكتب المعادلة وفقاً للصيغة:

= (x – 2) (ax² + bx + c)

نعم يمكننا كتابتها بالصيغة السابقة, حيث تؤول المعادلة إلى قوسين, قوس يضم احد الحلول (x -الحل) مضروبا بقوس يضم صيغة المعادلة من الدرجة الثانية. الآن نفك الأقواس.

= ax³-2ax²+bx²-2bx+cx-2c

= ax³+(-2a+b)x²+(-2+c)bx-2c

بالموازنة مع المعادلة الأساسية نجد أن:

-2c = -6
c=3

a=2

-2a+b=3
-2*2+b = 3
b=7

وبالتالي تكون المعادلة المستنتجة:

(x – 2) (2x² + 7x + 3) = 0
(x – 2) (2x + 1) (x +3) = 0

بمساواة كل حد من الحدود بالصفر نجد أن الجذور الثلاثة تكون 2, -0.5, -3

حل معادلة من الدرجة الثالثة بالقسمة الاقليدية

لفترض المعادلة التكعيبية التالية:

 x³ – 2x² – 5x + 6 = 0

العوامل الخاصة بهذه المعادلة وفقا لقيمة d = 6 هي 1 و 2 و 3 و 6 لنجرب القسمة على (x-2)

(x³ – 2x² – 5x + 6) ÷ (x-2)

أجراء عملية التقسيم: في الشكل السابق كتبنا في السطر الأول أمثال المعادلة الأصلية.

الجذر هو 2 لذا نقسم على 2 كما يلي:

1. الرقم 1 ينزل كما هو.
2. نضرب 1 الناتج لدينا بـ 2 فالناتج 2 نضعه تحت الأمثال -2
3. نجمع -2 مع 2 والناتج 0
4. نضرب 0*2 والناتج 0 نضعه تحت الأمثال -5
5. نجمع -5 مع 0 والناتج -5
6. نضرب -5 *2 والناتج -10
7. نضع -10 تحت الأمثال 6
8. نجمع -10 مع 6 والناتج -4

إذا كان الرقم الأخير لا يساوي الصفر فهذا يعني أن 2 ليست حلا للمعادلة ولنجرب عاملا آخر!!

كان من الأفضل تجربة العامل كحل للمعادلة بتعويضه بالمعادلة بشكل مباشر! بالتعويض بالمعادلة نستنتج أن 3 هو أحد حلول المعادلة. لنجرب الآن عملية التقسيم.

ناتج القسمة الأخير يساوي الصفر, وهذا يعني أن الجذر 3 صحيح وهو حل للمعادلة ولكن ماذا عن باقي الأرقام الناتجة ماذا تعني؟

الأرقام الباقية هي أمثال المعادلة التربيعية التي فيها باقي الجذور:

ax² + bx + c = 0

تكون a و b و c على الترتيب:

a = 1 , b = 1, c = -2

تكون المعادلة:

x² + x -2 = 0

وحل هذه المعادلة بسيط, وتكون باقي الجذور للمعادلة التكعيبية هي 1 و -2

طريقة كاردان

هل تساءلت كيف قمنا بحل المعادلة في برنامج الآلة الحاسبة في الأعلى؟ لم نعتمد على التحليل بكل تأكيد بل على طريقة كاردان في حل المعادلة. وطريقة كاردان لحل معادلة من الدرجة الثالثة تشابه الحل التقليدي للمعادلة من الدرجة الثانية باستخدام دلتا ولكنها أكثر تعقيداً بكل تأكيد, إلا أنها شاملة مهما كان الحل صعباً. رجاءا قم بالتعليق إن اهتممت بالمقال لأن كتابة الطريقة باسلوب مبسط جاري التحضير من قبل كتابنا. ومؤقتا نرشدك إلى هذا الفيديو عن حل معادلة بطريقة كاردان.