جدول المحتويات
كلما صادفتك معادلة فيها إشارة – قبل \(x^2\) فاضربها بـ \(-1\) للتخلص من الإشارة السالبة في البداية. هذا يجعل المعادلة أسهل للحل ولا يغير الحلول النهائية.
$$(-1)(-x^2 – 2x – 1) = (-1)(0)$$ $$x^2 + 2x + 1 = 0$$الآن، سنحل المعادلة الجديدة \(x^2 + 2x + 1 = 0\) بثلاث طرق مختلفة.
حل المعادلة بطريقة المربع الكامل
لحل المعادلة \(x^2 + 2x + 1 = 0\)، أبسط طريقة هي أن نلاحظ أنها تمثل مربعاً كاملاً.
هذا النوع من المعادلات يكون على شكل \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
في معادلتنا، نرى أن:
- الحد الأول \(x^2\) هو مربع \(x\).
- الحد الأخير \(+1\) هو مربع \(1\).
- الحد الأوسط \(+2x\) هو ضعف حاصل ضرب \(x\) و \(1\).
لذلك، يمكننا إعادة كتابة المعادلة بالشكل التالي:
$$(x + 1)^2 = 0$$لكي يكون مربع عدد مساوياً للصفر، يجب أن يكون العدد نفسه صفراً. إذن:
$$x + 1 = 0$$نقوم بطرح 1 من كلا الطرفين فيكون:
$$x = -1$$وهكذا، نجد أن للمعادلة حلاً واحداً فقط هو \(x = -1\). هذا يسمى حلاً مضاعفاً أو مكرراً لأن القوس كان مرفوعاً للأس 2.
حل المعادلة بالطريقة التقليدية قانون دلتا
يمكننا دائماً حل أي معادلة تربيعية باستخدام القانون العام، وهو يعمل مع أي معادلة من الشكل \(ax^2 + bx + c = 0\).
صيغة القانون العام هي:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$من معادلتنا \(x^2 + 2x + 1 = 0\)، نحدد قيم المعاملات:
- \(a = 1\) (وهو الرقم الذي يسبق \(x^2\))
- \(b = 2\) (وهو الرقم الذي يسبق \(x\))
- \(c = 1\) (وهو الحد الثابت)
الآن، لنعوض هذه القيم في القانون العام:
$$x = \frac{-(2) \pm \sqrt{(2)^2 – 4(1)(1)}}{2(1)}$$لنكمل الحسابات خطوة بخطوة:
$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 – 4}}{2}$$ $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2}$$بما أن الجذر التربيعي للصفر هو صفر، تصبح المعادلة:
$$x = \frac{-2 \pm 0}{2}$$هذا يعني أن لدينا حلاً واحداً فقط، لأن إضافة أو طرح الصفر لا يغير القيمة:
$$x = \frac{-2}{2}$$ $$x = -1$$وهكذا، نحصل على نفس الحل: \(x = -1\).
حل المعادلة بالتحليل (البحث عن عددين)
طريقة أخرى لحل المعادلة \(x^2 + 2x + 1 = 0\) هي التحليل إلى عاملين عن طريق البحث عن عددين.
نحن نبحث عن عددين إذا:
- ضربناهما كانت النتيجة \(+1\) (الحد الثابت في المعادلة).
- جمعناهما كانت النتيجة \(+2\) (معامل \(x\) في المعادلة).
فلنفكر قليلاً في الأعداد التي تنطبق عليها هذه الشروط. العددان هما \((+1)\) و \((+1)\):
- عند ضربهما: \((+1) \times (+1) = +1\)
- عند جمعهما: \((+1) + (+1) = +2\)
بما أننا وجدنا هذين العددين، يمكننا إعادة كتابة المعادلة على شكل أقواس:
$$(x + 1)(x + 1) = 0$$لكي يكون حاصل ضرب عاملين يساوي صفراً، يجب أن يكون أحد العاملين صفراً. في هذه الحالة، كلاهما متماثل:
$$x + 1 = 0$$بإضافة 1 إلى كلا الطرفين، نحصل على:
$$x = -1$$وهذا هو الحل الوحيد للمعادلة, ويمكننا التعويض في المعادلة الأصلية بقيمة الحل للتأكد أن الحل الصحيح هو \(x = -1\).
إقرأ أيضا:
