جدول المحتويات
حل المعادلة x² – 6x + 12 = 19 بالتحليل إلى العوامل
معادلتنا هي:
$$x^2 – 6x + 12 = 19$$
نبدأ أولاً بإعادة كتابة المعادلة في صورتها القياسية \(ax^2 + bx + c = 0\) وذلك بطرح 19 من الطرفين:
$${x^2 – 6x + 12 – 19 = 0 \\
x^2 – 6x – 7 = 0}$$
نبحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي الحد الثابت (\(-7\)) ومجموعهما يساوي معامل \(x\) (\(-6\)). العددان هما \(-7\) و \(1\).
نكتب المعادلة على شكل جداء قوسين:
$$(x – 7)(x + 1) = 0$$
قوسان حاصل ضربهما يساوي 0. هذا يعني أن أحدهما او كلاهما يساوي الصفر
$${ x – 7 = 0 \Rightarrow x = 7\\
x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 }$$
الحلول بالطريقة الأولى هي: \(x = 7\) أو \(x = -1\).
الحل بإكمال المربع
معادلتنا بعد الإصلاح هي:
$$x^2 – 6x – 7 = 0$$
نبدأ بالمعادلة القياسية (بعد الاصلاح) وننقل \(-7\) إلى الطرف الأيمن:
$$x^2 – 6x = 7$$
نضيف مربع نصف معامل \(x\) إلى الطرفين. نصف معامل \(x\) هو \(\frac{-6}{2} = -3\)، ومربعه هو \((-3)^2 = 9\):
$$x^2 – 6x + 9 = 7 + 9$$
التبسيط والاختزال: نكتب الطرف الأيسر كمربع كامل ونجمع الطرف الأيمن:
$$\left(x – 3\right)^2 = 16$$
نأخذ الجذر التربيعي:
$$x – 3 = \pm\sqrt{16}$$
$$x – 3 = \pm 4$$
وبالتالي تكون الحلول:
$$\begin{aligned} x_1 &= 3 + 4 \Rightarrow x = 7 \\ x_2 &= 3 – 4 \Rightarrow x = -1 \end{aligned}$$
بالتالي للمعادلة حلان هما: \(x = 7\) أو \(x = -1\).
إقرأ حول قانون المربع الكامل لحل المعادلات من الدرجة الثانية
حل المعادلة x^2 – 6x + 12 = 19 بالقانون العام
المعادلة بعد الإصلاح:
$$x^2 – 6x – 7 = 0$$
معاملات المعادلة \(a=1\)، \(b=-6\)، و \(c=-7\):
قانون حل المعادلة من الدرجة الثانية:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$
نعوض قيم المعاملات:
$$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 – 4(1)(-7)}}{2(1)}$$
بالاختصار
$$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$$
$$x = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2}$$
$$x = \frac{6 \pm 8}{2}$$
وبالتالي تكون الحلول:
الحل الأول (\(x_1\)):
$$x_1 = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$$
الحل الثاني (\(x_2\)):
$$x_2 = \frac{6 – 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$
نستنتج أن للمعادلة حلان حقيقيان هما: \(x = 7\) أو \(x = -1\).
قد يهمك: حل المعادلات من الدرجة الثانية أونلاين
معادلات أخرى:
