يرد هذا السؤال كثيراً في الامتحانات اختر (صواب) أو (خطأ) للعبارة الأتية: حل المعادلة المصفوفية a · x = b هو x = b · a – 1. حيث أن a مصفوفة قابلة للعكس.
الحل: نضرب المعادلة المصفوفية بـ a-1 فيكون:
a-1 · (a · x) = a-1 · b
(a-1 · a · x) = a-1 · b
ولكن نحن نعرف أن: a · a-1 = I = a-1 · a أي ضرب المصفوفة بمقلوبها يساوي المصفوفة الواحدية. نعوض في المعادلة فيكون:
(I · x)= a-1 · b
x= a-1 · b
أي إن حل المعادلة المصفوفية a · x = b هو x= a-1 · b وهو صواب.
اختر (صواب) أو (خطأ) للعبارة الأتية: حل المعادلة المصفوفية 𝐴 · 𝑋 = 𝐵 هو 𝑋 = 𝐵 · 𝐴 -1
الهدف هو عزل المتغير المصفوفي X في المعادلة AX=B. الشرط الأساسي لإجراء ذلك هو أن تكون المصفوفة A قابلة للعكس (Invertible)، أي أن معكوسها A−1 موجود.
تطبيق المعكوس: لإلغاء تأثير المصفوفة A على المتغير X في الطرف الأيسر من المعادلة، يجب علينا ضرب طرفي المعادلة بـ A−1 من جهة اليسار (Pre-multiplication).
A−1(AX)=A−1B
تطبيق الخاصية التجميعية والمعكوس: نستخدم الخاصية التجميعية (Associativity) لضرب المصفوفات على الطرف الأيسر:
(A−1A)X=A−1B
من تعريف معكوس المصفوفة، نعلم أن حاصل ضرب مصفوفة في معكوسها يساوي مصفوفة الوحدة (Identity Matrix)، I:
A−1A=I
بالتعويض عن A−1A بـ I في المعادلة:
IX=A−1B
وبما أن ضرب أي مصفوفة في مصفوفة الوحدة ينتج المصفوفة الأصلية (IX=X):
X=A−1B
إذن حل المعادلة المصفوفية 𝐴 · 𝑋 = 𝐵 هو 𝑋 = 𝐵 · 𝐴 -1 صواب.
خاتمة
النتيجة صحيحة. هذا الأسلوب هو الطريقة المعتادة لحل المعادلات المصفوفية من هذا النوع، كما أنه يمثل الأساس الرياضي لحل أنظمة المعادلات الخطية المعقدة.
