جدول المحتويات
في المقال التالي سنشرح الأعداد الأولية بالتفصيل. ما هي الأعداد الأولية؟ وكيف نجدها ونتحقق من أن العدد اولي أم لا بطريقتين للأعداد الصغيرة والكبيرة. بالإضافة إلى جدول الأعداد الأولية من 1 إلى 100 ومن 1 إلى 1000 كاملة بالإضافة إلى برنامج التحقق من العدد الأولي.
اطلع على مقال كيفية توليد رقم عشوائي
ما هي الأعداد الأولية
الأعداد الأولية هي الأعداد الطبيعية التي لا تقبل القسمة الا على نفسها وعلى الواحد فقط (بدون وجود باقي). ويمكن القول بأن الأعداد الأولية هي أعداد طبيعية موجبة أكبر من الواحد وتمتلك عاملين فقط وهما الواحد والعدد نفسه.
تسمى الأعداد غير الأولية بالأعداد المركبة. على سبيل المثال, العدد 7 هو عدد أولي لأنه يقبل القسمة على 7 و 1 فقط وبالتالي يمتلك عاملين فقط. بينما العدد 4 غير أولي (ويسمى مركباً) لأنه يقبل القسمة على أكثر من عاملين (يقبل القسمة على 4 و على 2 وعلى 1 أي على 3 عوامل وليس عاملين فقط).
والجدير بالذكر ان العدد 1 ليس عدداً أولياً ولا مركباً.
نستنتج: بشكل عام يمكننا التقسيم الأعداد (ما عدا الواحد) إلى أعداد أولية وأعداد مركبة.
ومعلومة مهمة أيضاً يمكننا القول ان جميع الأعداد الأولية هي أعداد فردية باستثناء العدد 2 الذي يعتبر العدد الزوجي الوحيد الذي يصنف كعدد أولي.
وأيضا يمكن القول أن الرقم اثنين هو العدد الأولي الاصغر من بين أعداد أولية.
إن أي عدد يكون آحاده 5 هو عدد غير أولي (عدا الـ5) لماذا؟ لان كل الأعداد التي تنتهي بالرقم 5 (مثل 365 أو 9745..) تقبل القسمة على نفسها و 5 و 1 على الأقل وبالتالي لها 3 عوامل على الأقل وليس عاملين وبالتالي هي أعداد غير أولية.
العدد الأولي الوحيد الذي ينتهي بالرقم خمسة هو خمسة فقط!
لان أي عدد أولي اكبر من الخمسة ويكون احاده خمسة يقبل القسمة على 5 و1 ونفسه وبالتالي يكون له ٣ عوامل وهو ليس عدداً أوليا.
وبالتالي نستنتج من جميع الملاحظات السابقة ما يلي:
الأعداد الأولية هي أعداد موجبة طبيعية تمتلك عاملين فقط هما الواحد والعدد نفسه.
ومن الأمثلة على الأعداد الأولية 2, 3, 5, 7… سنتعلم كيفية التحقق من الأعداد الأولية لكن بداية لنتطلع على جداول الأعداد الأولية.
برنامج التحقق من العدد الأولي
ما هي الأعداد الأولية من 1 إلى 100؟
هناك 25 عدد أولي من الواحد إلى المئة يمكنكم الاطلاع على الأعداد الأولية من 1 إلى 100 في الجدول التالي:
يمكنك قراءة المقال المختصر حول الأعداد الأولية من 1 إلى 20.
الأعداد الأولية من 1 إلى 1000
في الجدول التالي الأعداد الاولية من 1 إلى 1000:
| المجال | عدد الأعداد الاولية | الأعداد الأولية |
| 1-100 | 25 عدد أولي | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 |
| 101-200 | 21 عدد أولي | 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199 |
| 201-300 | 16 عدد أولي | 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293 |
| 301-400 | 16 عدد أولي | 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397 |
| 401-500 | 17 عدد أولي | 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499 |
| 501-600 | 14 عدد أولي | 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599 |
| 601-700 | 16 عدد أولي | 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691 |
| 701-800 | 14 عدد أولي | 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797 |
| 801-900 | 15 عدد أولي | 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887 |
| 901-1000 | 14 عدد أولي | 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997 |
خصائص الأعداد الأولية
يمكننا مما سبق استنتاج بعض خواص الأعداد الأولية وهي:
- العدد الأولي هو عدد طبيعي اكبر من الواحد دائماً.
- يمتلك العدد الأولي عاملين فقط هما الواحد والعدد نفسه.
- الأعداد الأولية غير منتظمة في الترتيب في مجموعة الأعداد ولم يتوصل العلماء إلى اليوم إلى قاعده تشير إلى مكان العدد الأولي بين مجموعات الأعداد الطبيعية. وعلى رغم من هذا, نشأت العديد من النظريات حول ترتيب الأعداد الأولية أو بشكل أدق توقع وجود عدد أولي.
- كلما زادت قيمه العدد الأولي ازدادت الفجوة بينه وبين العدد الأولي الذي يليه.
- الأعداد الأولية غير منتهية.
لا الصفر ليس عدداً أولياً لأنه بكل بساطة لا يقبل القسمة على واحد.
لا الرقم واحد لا يعتبر عدداً أولياً على الرغم من أنه يقبل القسمة على نفسه وعلى الواحد, إلا أنه يخالف أحد شروط العوامل الأولية وهي وجود عاملين وهو لا يمتلك بالمحصلة سوى عامل واحد وهو نفسه.
ما هو الفرق بين العدد الأولي والعدد غير الاولي؟
سأشرح لكم الفرق بين العدد الأولي والعدد غير الأولي
الأعداد الأولية والأعداد المركبة
كما قلنا سابقاً إن العدد الأولي هو عدد طبيعي اكبر من الواحد تماماً ويجب أن يكون له عاملين اثنين. على سبيل المثال, يمكن تشكيل العدد خمسه بضرب 5 × 1 فقط. في حين ان العدد المركب (غير الأولي) يمكن ان يمتلك أكثر من عاملين، على سبيل المثال يمكن تشكيل الرقم 6 باستخدام 4 عوامل 6×1, 2×3, 2×3×1….الخ
الأعداد المركبة هي أعداد أكبر من الواحد ويمكن أن تمتلك أكثر من عاملين، على سبيل المثال يمكن تشكيل الرقم 4 من خلال ثلاث عوامل 1 و2 و4 وبالتالي له اكثر من عاملين. إذا يعتبر الرقم 4 عدداً مركباً
أسهل طريقة لمعرفة العدد الأولي
هناك مجموعة من الطرق لمعرفة العدد الاولي سواء كان صغيراً أم كبيراً.
التحليل إلى عوامل لمعرفة العدد الأولي
تعتبر طريقة التحليل إلى عوامل من الطرق السهلة لمعرفة الأعداد الأولية وهي بسيطة, لمعرفة العدد الأولي نتبع الخطوات الثلاث التالية:
- إيجاد العوامل الخاصة بالعدد.
- التحقق من عدد العوامل.
- إذا كان عدد العوامل أكثر من 2 فالعدد غير أولي.
بكل بساطة! لنأخذ مثالا عن هذه الطريقة.
يمكن كتابته بالشكل 1×2×3×3. وبالتالي تكون عوامل الرقم 18 هي: 1, 2, 3, 6, 9, 18 وبالتالي يكون عدد العوامل الأولية 6 عوامل. أي أن الشرط الأخير غير محقق وبالتالي 18 ليس عدداً أوليًا.
نلاحظ أن العدد 19 لا يمكن كتابته إلا بالشكل 1×19. وبالتالي فإن عدد العوامل الأولية هي 2 فقط و العدد 19 عدد أولي.
معرفة الأعداد الأولية الكبيرة
يزداد الأمر صعوبة عند التعامل مع الأعداد الكبيرة. ولكن هناك مجموعة من القواعد لمعرفة الأعداد الأولية الكبيرة. ونتحقق منها بالترتيب:
- إذا كان العدد زوجياً فهو ليس أولياً عدا الـ 2 (وفق التعريف). أي إذا كانت الرقم في مرتبة الآحاد 0, 2, 4, 6, 8.
- إذا كان العدد منتهيا بالرقم 5 فهو عدد غير أولي (عدا الرقم 5-لأنه سيكون قابلا للقسمة على نفسه و 1 و5 على أقل تقدير).
- إذا كان مجموع أرقام العدد قابل للقسمة على 3 فهو ليس عددا أوليا.
- إذا لم تتحقق الخطوات السابقة نوجد الجذر التربيعي للعدد. نقوم بتقسيم العدد على كل الأعداد الاولية التي قيمتها أقل من الجذر التربيعي للعدد.
- إذا كان العدد قابلاً للقسمة على جميع الأعداد الأولية السابقة فهو عدد غير أولي, وإلا فهو عدد أولي.
لنأخد مجموعة من الأمثلة عن إيجاد الاعداد الأولية الكبيرة:
هل العدد 651492 عدد اولي؟
نلاحظ أن العدد ينتهي بـ 2 بالتالي هو عدد زوجي وبالتالي غير أولي. (بتطبيق القاعدة 1)
هل العدد 89835 عدد أولي؟
لا, بتطبيق القاعدة 2, العدد ينتهي بالرقم 5 وبالتالي هو قابل للقسمة على 1 ونفسه و5, أي يمتلك 3 عوامل على الأقل وبالتالي هو غير أولي.
هل العدد 4647 عدد أولي؟
القاعدة 1 و2 غير محققة, لنحاول بالقاعدة رقم 3. لنحسب مجموع الأرقام المشكلة للعدد 4+6+4+7 = 21. نلاحظ أن المجموع 27 قابل للقسمة على 3 وبالتالي العدد 4647 غير أولي.
هل العدد 1277 عدد أولي؟
القاعدة 1 و2 غير محققة. لنحاول بالقعدة الثالثة. مجموع أرقام العدد 1+2+7+7 = 17 و العدد 17 غير قابل للقسمة على 3. لنحاول بالقاعدة الأخيرة 4 و5.
نوجد الجذر التربيعي باستخدام الآلة الحاسبة وهو 35.7. نستعين بجدول الأعداد الأولية من 1 إلى 100 الموجود في الفقرات السابقة, ونقوم بتقسيم العدد 1277 على كل الأعداد الاولية التي قيمتها أقل من الجذر التربيعي 35.7.
1277 ÷ 29 = 44.031277 ÷ 23 = 55.521277 ÷ 19 = 67.211277 ÷ 17 = 75.111277 ÷ 13 = 98.231277 ÷ 11= 116.091277 ÷ 7 = 182.41277 ÷ 5 = 255.41277 ÷ 3 = 425.61277 ÷ 2 = 638.5
نلاحظ أنه غير قابل للقسمة على أي رقم من الأرقام المذكورة. وبالتالي 1277 عدد أولي.
هل لديك أي سؤال؟ لاتتردد بطرحه في التعليقات.