حساب مساحة المعين – تمارين وأمثلة

المعين هو شكل هندسي رباعي يتميز بأن جميع أضلاعه متساوية في الطول. هذه الخاصية تجعله حالة خاصة من متوازي الأضلاع، تماماً كما أن المربع هو حالة خاصة من المستطيل. سنستعرض كل القوانين المتاحة لحساب مساحة المعين، مع أمثلة عملية لتوضيح كل طريقة. ولكن دعونا اولا نستعرض لمحة سريعة عن المعين وخواصه.

إقرأ حول: كيفية حساب مساحة المربع

خواص المعين

كما قلنا فإن المعين هو حالة خاصة من متوازي الأضلاع ويتمتع بالخواص التالية:

• جميع أضلاعه الأربعة متساوية في الطول.
• قطراه ينصّف كل منهما الآخر، وهما متعامدان (أي يتقاطعان بزاوية 90 درجة).
• يمتلك المعين (إذا لم يكن مربعاً) قطراً كبيراً يصل بين الزاويتين الحادتين، وقطراً صغيراً يصل بين الزاويتين المنفرجتين.
• كل زاويتين متقابلتين في المعين متساويتان في القياس.
• مجموع قياس أي زاويتين متجاورتين يساوي 180 درجة.
• كل قطر في المعين ينصّف الزاويتين عند رأسيه.

ملاحظة: المربع هو حالة خاصة من المعين (لأن المعين هو كل شكل رباعي أضلاعه متساوية). عندما تصبح زوايا المعين قائمة (90°)، يتحول إلى مربع، وفي المربع يكون القطران متساويين تماماً في الطول.

والآن سنأتي على دراسة كافة قوانين حساب مساحة المعين بالتفصيل وهي 3 قوانين:

حساب مساحة المعين باستخدام أطوال الأقطار

تُعد هذه الطريقة الأكثر شيوعًا لحساب مساحة المعين، خاصةً وأن أقطاره تتعامد وتنصّف بعضها البعض.

قانون مساحة المعين = نصف حاصل ضرب طولَي القطرين.

بالرموز الرياضية، يمكن التعبير عن القانون كالتالي:

$$A = \frac{1}{2} d_1 \times d_2$$

حيث:

• A: مساحة المعين.
• d₁: طول القطر الأول.
• d₂: طول القطر الثاني.

حساب مساحة المعين باستخدام القاعدة والارتفاع

نظرًا لأن المعين هو نوع خاص من متوازي الأضلاع، يمكن تطبيق قانون مساحة متوازي الأضلاع عليه أيضًا. في المعين، القاعدة هي ببساطة أي ضلع من أضلاعه.

مساحة المعين = طول الضلع × الارتفاع.

$$A = s \times h$$

حيث:

• s: طول الضلع.
• h: الارتفاع العمودي على الضلع.

حساب مساحة المعين باستخدام ضلع وزاوية

إذا كان الارتفاع أو الأقطار غير معلومة، يمكنك استخدام طول أحد الأضلاع وقياس إحدى زواياه لحساب المساحة.

القانون: مساحة المعين = (طول الضلع)² × جيب الزاوية المجاورة.

أو بشكل آخر:

$$A = s^2 \times \sin(\theta)$$

حيث:

• s: طول الضلع.
• θ: قياس أي زاوية داخل المعين (ملاحظة: زوايا المعين المتقابلة متساوية).

باستخدام أي من هذه القوانين، يمكنك حساب مساحة المعين بسهولة اعتمادًا على المعلومات المتاحة لديك.

والآن سناتي إلى تمارين تفصيلية من أجل المزيد من التدريب وكي تتقن حساب المساحة.

تمارين مساحة المعين

التمرين الأول

معين طول قطريه 16 سم و 12 سم. ما هي مساحته؟

الحل:

نستخدم القانون المباشر للمساحة باستخدام القطرين:

• المساحة = ½ × القطر الأول × القطر الثاني
• المساحة = ½ × 16 × 12
• المساحة = ½ × 192 = 96 سم²

لا تنس كتابة واحدة المساحة وتكون مربعة دائماً (سم²)

تمرين 2

إذا كان طول ضلع معين هو 9 سم وارتفاعه 6 سم. فما هي مساحته.

الحل:

نستخدم القانون الذي يطبق على متوازي الأضلاع أيضًا:

• المساحة = طول الضلع × الارتفاع
• المساحة = 9 × 6 = 54 سم²

تمرين 3

لدينا معين طول ضلعه 10 سم، وإحدى زواياه 30 درجة. احسب مساحته.

الحل:

نستخدم قانون الضلع والزاوية:

• المساحة = (طول الضلع)² × جيب(الزاوية)
• المساحة = 10² × جب(30°)
• المساحة = 100 × 0.5 = 50 سم²

تمرين 4

معين طول ضلعه 5 سم، وطول أحد قطريه 6 سم. ما هي مساحته؟

الحل:

هذا تمرين يتطلب خطوتين. بما أن أقطار المعين متناصفة ومتعامدة مع بعضها، فإنها تشكل أربعة مثلثات قائمة الزاوية. طول وتر كل مثلث هو ضلع المعين (5 سم)، وطول أحد ساقيه هو نصف طول القطر المعلوم (6 ÷ 2 = 3 سم).

1. حساب طول القطر الثاني:
   • نستخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد نصف طول القطر الثاني والتي تنص على أن مجموع مربعي طولي الضلعين القائمتين = مربع طول الوتر :أي
   • (نصف القطر الثاني)² + (نصف القطر الأول)² = (الضلع)²
   • (نصف القطر الثاني)² + 3² = 5²
   • (نصف القطر الثاني)² + 9 = 25
   • (نصف القطر الثاني)² = 16
   • نصف القطر الثاني = 4 سم.
   • إذن، طول القطر الثاني كاملاً هو 4 × 2 = 8 سم.
2. حساب المساحة:
   • المساحة = ½ × القطر الأول × القطر الثاني
   • المساحة = ½ × 6 × 8 = 24 سم²

تمرين 5

إذا كان محيط معين 40 سم، وطول أحد قطريه 16 سم. فما هي مساحته؟

الحل:

هذا التمرين على العلاقة بين الأقطار والمحيط يشبه التمرين السابق، لكنه يبدأ بالمحيط.

1. حساب طول الضلع:
   • بما أن أضلاع المعين متساوية، فإن طول الضلع = المحيط ÷ 4.
   • طول الضلع = 40 ÷ 4 = 10 سم.
2. حساب طول القطر الثاني:
   • نصف القطر المعلوم = 16 ÷ 2 = 8 سم.
   • نستخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد نصف طول القطر الثاني: (نصف القطر الثاني)² + 8² = 10²
   • (نصف القطر الثاني)² + 64 = 100
   • (نصف القطر الثاني)² = 36
   • نصف القطر الثاني = 6 سم.
   • إذن، طول القطر الثاني كاملاً هو 6 × 2 = 12 سم.
3. حساب المساحة:
   • المساحة = ½ × القطر الأول × القطر الثاني
   • المساحة = ½ × 16 × 12 = 96 سم²

تمرين 6

لدينا معين مساحته 84 متر مربع، ومحيطه 42 متر. ما هو ارتفاعه؟

الحل:

نبدأ بحساب طول الضلع من المحيط، ثم نستخدم المساحة لإيجاد الارتفاع.

1. حساب طول الضلع:
   • طول الضلع = المحيط ÷ 4.
   • طول الضلع = 42 ÷ 4 = 10.5 متر.
2. حساب الارتفاع:
   • المساحة = طول الضلع × الارتفاع
   • 84 = 10.5 × الارتفاع
   • الارتفاع = 84 ÷ 10.5 = 8 متر

تمرين 7

إذا كان طولا قطري المعين هما 14 سم و 24 سم، ما هي مساحته؟ وما هي قياسات زواياه؟

الحل:

هذا التمرين على العلاقة بين الأقطار والزوايا ويمكن تقسيم الحل فيه إلى جزأين:

1. حساب المساحة:
   • المساحة = ½ × القطر الأول × القطر الثاني
   • المساحة = ½ × 14 × 24 = 168 سم²
2. حساب الزوايا:
   • نصف القطر الأول = 14 ÷ 2 = 7 سم.
   • نصف القطر الثاني = 24 ÷ 2 = 12 سم.
   • في المثلث القائم الزاوية الذي تشكله أنصاف الأقطار، يمكننا استخدام دالة الظل (tan) لإيجاد نصف الزاوية.
   • tan(نصف الزاوية) = المقابل ÷ المجاور = 7 ÷ 12 ≈ 0.5833
   • نصف الزاوية = tan⁻¹(0.5833) ≈ 30.26 درجة.
   • الزاوية الحادة للمعين = 30.26 × 2 ≈ 60.52 درجة.
   • الزاوية المنفرجة للمعين = 180 درجة – 60.52 درجة ≈ 119.48 درجة.