حل المعادلة بطريقة التحليل
لحل المعادلة \(-x^2 – x + 2 = 0\)، قد يكون من الأسهل أن نتخلص من إشارة الناقص في بداية المعادلة. يمكننا فعل ذلك بضرب طرفي المعادلة بـ \(-1\). هذا لا يغير الحلول، لأننا نضرب طرفي المعادلة بنفس العدد.
$$(-1)(-x^2 – x + 2) = (-1)(0)$$ $$x^2 + x – 2 = 0$$الآن، المعادلة أصبحت أسهل للتحليل. نحن نبحث عن عددين حاصل ضربهما \(-2\)، وحاصل جمعهما هو \(+1\) (وهو معامل \(x\)).
العددان اللذان يحققان هذا هما \((+2)\) و \((-1)\)، لأن:
- \((2) \times (-1) = -2\)
- \((2) + (-1) = 1\)
الآن أصبح بإمكاننا كتابة المعادلة على شكل أقواس:
$$(x + 2)(x – 1) = 0$$وبالتالي لتتحقق المعادلة إما القوس الأول يساوي الصفر أو القوس الثاني. وهذا يعطينا حلين:
الحل الأول:
$$x + 2 = 0$$ $$x = -2$$الحل الثاني:
$$x – 1 = 0$$ $$x = 1$$وهكذا، حلا المعادلة هما: \(x_1 = -2\) و \(x_2 = 1\).
حل المعادلة بطريقة القانون العام
يمكننا أيضاً حل المعادلة \(-x^2 – x + 2 = 0\) مباشرةً باستخدام القانون العام. هذه الطريقة تعمل مع أي معادلة تربيعية من الدرجة الثانية.
صيغة القانون العام هي:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$من معادلتنا \(-x^2 – x + 2 = 0\)، نحدد قيم المعاملات:
- \(a = -1\) (وهو الرقم الذي يسبق \(x^2\))
- \(b = -1\) (وهو الرقم الذي يسبق \(x\))
- \(c = 2\) (وهو الحد الثابت)
الآن، لنعوض هذه القيم في القانون العام:
$$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4(-1)(2)}}{2(-1)}$$لنكمل الحسابات خطوة بخطوة:
$$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 – (-8)}}{-2}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{-2}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{-2}$$بما أن الجذر التربيعي للعدد 9 هو 3، يكون لدينا:
$$x = \frac{1 \pm 3}{-2}$$هذا يعطينا حلين محتملين:
الحل الأول: عندما نستخدم إشارة الزائد (+)
$$x_1 = \frac{1 + 3}{-2} = \frac{4}{-2} = -2$$الحل الثاني: عندما نستخدم إشارة الناقص (-)
$$x_2 = \frac{1 – 3}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$$وبالتالي تكون حلول المعادلةفي مجموعة الأعداد الحقيقية: \(x_1 = -2\) و \(x_2 = 1\).
إقرأ أيضا:
