لإيجاد قيمة a التي تجعل للمعادلة التربيعية \(x^2+2x+1=0\) جذرًا حقيقيًا مكررًا، يمكن استخدام إحدى الطريقتين:
ايجاد قيمة a بطريقة المميز
للمعادلة التربيعية العامة Ax^2+Bx+C=0، يكون المميز \(\Delta\) (أو \(D\)) هو \(B^2-4AC\).
لكي يكون للمعادلة جذر حقيقي مكرر (أي جذران حقيقيان متساويان)، يجب أن تكون قيمة المميز مساوية للصفر (\(\Delta = 0\)).
- تحديد المعاملات من المعادلة \(x^2+2x+a=0\):
- A = 1
- B = 2
- C = a
- كتابة المميز ومساواته بالصفر:$$\Delta = B^2 – 4AC = 0$$
- التعويض وحل المعادلة:$$(2)^2 – 4(1)(a) = 0$$$$4 – 4a = 0$$$$4 = 4a$$$$\mathbf{a = 1}$$
وبالتالي قيمة a التي تجعل للمعادلة التربيعية x^2+2x+a=0 جذرا حقيقيا مكررا هي a=1
طريقة تحويل المعادلة إلى مربع كامل
الجذر الحقيقي المكرر يعني أن المعادلة التربيعية يمكن كتابتها على شكل مربع كامل، وهو \((x-h)^2 = 0\)، حيث \(h\) هو الجذر المكرر.
تطبيق الطريقة:
- الشكل العام للمربع الكامل (حيث المعامل الرئيسي 1):$$x^2 + 2hx + h^2 = 0$$(إذا كان الجذر المكرر هو \(-h\))أو$$x^2 – 2hx + h^2 = 0$$(إذا كان الجذر المكرر هو \(-h\))
- مقارنة المعادلة الأصلية \(x^2+2x+a=0\) بالشكل \(x^2 + (\text{معامل } x)x + (\text{الحد الثابت}) = 0\):
- مقارنة معامل \(x\): يجب أن يكون معامل \(x\) في المعادلة الأصلية مساويًا لـ \(2h\) (أو \(-2h\)).$$2 = 2h$$$$\mathbf{h = 1}$$(الجذر المكرر هو \(-h = -1\))
- مقارنة الحد الثابت: يجب أن يكون الحد الثابت في المعادلة الأصلية (\(a\)) مساويًا لـ \(h^2\).$$a = h^2$$$$a = (1)^2$$$$\mathbf{a = 1}$$
الخلاصة:
قيمة \(a\) التي تجعل للمعادلة \(x^2+2x+a=0\) جذرًا حقيقيًا مكررًا هي \(a=1\).
في هذه الحالة، تصبح المعادلة \(x^2+2x+1=0\), والتي هي \((x+1)^2=0\), والجذر المكرر هو \(x=-1\).
قد يهمك:
