جدول المحتويات
الحل بالتحليل
لحساب المعادلة \(x^2+2x+1 = 0\)، أسهل طريقة هي التحليل. هذه المعادلة هي في الواقع مربع كامل.
نبحث عن عددين، إذا ضربناهما كانت النتيجة \(+1\) (الرقم الأخير)، وإذا جمعناهما كانت النتيجة \(+2\) (الرقم الذي في المنتصف).
العددان الوحيدان اللذان يحققان هذا هما **1 و 1**.
إذن، يمكننا كتابة المعادلة هكذا:
$$(x + 1)(x + 1) = 0$$أو ببساطة:
$$(x + 1)^2 = 0$$لكي يكون هذا صحيحاً، يجب أن يكون الجزء داخل القوسين يساوي صفر:
$$x + 1 = 0$$ $$x = -1$$وهكذا، يكون لدينا حل واحد فقط للمعادلة وهو \(x = -1\). نسمي هذا “جذر مكرر” لأن العامل \((x+1)\) ظهر مرتين.
الحل باستخدام القانون العام
تستطبع دائما حل أي معادلة تربيعية مثل \(x^2+2x+1 = 0\) باستخدام القانون العام. هذه الطريقة تصلح لكل المعادلات التربيعية.
القانون العام هو:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$من معادلتنا \(x^2+2x+1 = 0\)، نحدد الأرقام:
- \(a = 1\) (الرقم مع \(x^2\))
- \(b = 2\) (الرقم مع \(x\))
- \(c = 1\) (الرقم لوحده)
الآن، نعوض هذه الأرقام في القانون:
$$x = \frac{-(2) \pm \sqrt{(2)^2 – 4(1)(1)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 – 4}}{2}$$ $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2}$$بما أن جذر الصفر هو صفر، يصبح عندنا:
$$x = \frac{-2 \pm 0}{2}$$وهذا يعني إن الحلين متساويين:
$$x = \frac{-2}{2}$$ $$x = -1$$يعني، الحل الوحيد للمعادلة هو \(x = -1\).
الحل بطريقة إكمال المربع
طريقة إكمال المربع هي طريقة ثانية من أجل حل المعادلات التربيعية، وهي مفيدة في الكثير من الحالات.
معادلتنا هي: \(x^2 + 2x + 1 = 0\)
الخطوة الأولى: المعادلة هذي أصلاً مكتوبة بشكل مربع كامل. شكل المربع الكامل هو \( (x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2 \).
في معادلتنا، الحد الأوسط هو \(2x\). لو قارناه بـ \(2kx\)، نجد إن \(k=1\). والحد الأخير هو \(1\)، وهو يساوي \(k^2\) الذي هو \(1^2\).
الخطوة الثانية: بما إن المعادلة أصلاً مربع كامل، يمكننا كتابتها على هذا الشكل:
$$(x + 1)^2 = 0$$الخطوة الثالثة: خذ الجذر التربيعي للطرفين:
$$\sqrt{(x + 1)^2} = \sqrt{0}$$ $$x + 1 = 0$$الخطوة الرابعة: نوجد الحل من أجل قيمة \(x\):
$$x = -1$$وبهذه الطريقة، يوضح لنا إن \(x = -1\) هو الحل الوحيد للمعادلة.
قد يهمك أيضاً:
