جدول المحتويات
حل المعادلة x² + x + 1 = 0 باستعمال القانون العام وطريقتين أخرتين وبشكل مفصل.
حل المعادلة x^2+x+1=0 باستعمال القانون العام
المعادلة التربيعية هي \(x^2 + x + 1 = 0\). نحدد المعاملات أولاً: \(a=1\)، \(b=1\)، و \(c=1\).
نحسب المميز (\(\Delta\)): \(\Delta = b^2 – 4ac = 1^2 – 4(1)(1) = -3\).
بما أن المميز سالب، فإن المعادلة مستحيلة الحل في مجموعة الأعداد الحقيقية ولكن يمكن حلها في المجموعة العقدية المركبة.
يُعد القانون العام هو الطريقة الأكثر شمولاً لحل المعادلات التربيعية، حتى في حال وجود جذور عقدية.
نكتب القانون العام لحل المعادلة التربيعية:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$
نعوض بالمعاملات التي استنتجناها \(a=1\)، \(b=1\)، و \(c=1\):
$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^2 – 4(1)(1)}}{2(1)}$$
نبسط الحل باستخدام الوحدة التخيلية \(i\):
لدينا \(\sqrt{-3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{3}i\):
$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$$
الحل الأول للمعادلة باستعمال القانون العام هو (\(x_1\)):
$$x_1 = \frac{-1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$$
الحل الثاني (\(x_2\)) والإشارة السالبة:
$$x_2 = \frac{-1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2}i$$
يمكنك التأكد من حل أي معادلة من الدرجة الثانية من خلال البرنامج: حل المعادلة من الدرجة الثانية اون لاين
حل المعادلة x^2+x+1=0 بإكمال المربع
تعتمد هذه الطريقة على تحويل جزء من المعادلة إلى مربع كامل.
نقوم بعزل الحد الثابت:
$$x^2 + x = -1$$
نضيف مربع نصف معامل \(x\) إلى الطرفين. نصف معامل \(x\) هو \(\frac{1}{2}\)، ومربعه هو \(\frac{1}{4}\):
$$x^2 + x + \frac{1}{4} = -1 + \frac{1}{4}$$
نبسط المعادلة بحيث نكتب الطرف الأيسر كمربع كامل ونوحد المقامات في الطرف الأيمن:
$$\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = -\frac{4}{4} + \frac{1}{4}$$
$$\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = -\frac{3}{4}$$
نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين (مع ظهور \(\pm\) و \(i\)):
$$x + \frac{1}{2} = \pm\sqrt{-\frac{3}{4}}$$
$$x + \frac{1}{2} = \pm\frac{\sqrt{3}i}{2}$$
ننقل الحد \(\frac{1}{2}\) إلى الطرف الأيمن يكون ححل المعادلة هو:
$$x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$$
حل المعادلة باستخدام خاصية جذور الوحدة
المعادلة \(x^2 + x + 1 = 0\) لها علاقة مباشرة بتحليل \(x^3 – 1 = 0\)، حيث تُعرف حلولها العقدية بأنها جذور الوحدة التكعيبية.
تحليل المعادلة التكعيبية: المعادلة \(x^3 – 1 = 0\) تتحلل إلى:
$$(x – 1)(x^2 + x + 1) = 0$$
فصل الجذور العقدية: الجذور العقدية تأتي من المعادلة:
$$x^2 + x + 1 = 0$$
هذه الجذور تُرمز لها تقليدياً بـ \(\omega\) و \(\omega^2\)، وقيمها العددية (المستخلصة من القانون العام):
$$x = \omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$$
$$x = \omega^2 = -\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2}i$$
