جدول المحتويات
مقالنا اليوم عن أنواع المصفوفات وتعريف المصفوفة وكل ما يتعلق بها وفهمها ودراستها وهو جزء من مجموعة دروس عن المصفوفات والعمليات عليها وجمعها وضربها وطرحها…الخ
تعريف المصفوفة: المصفوفة هي مجموعة من الأعداد أو الأرقام أو البيانات أو الرموز وفق ترتيب معين (صفوف وأعمدة). تستخدم المصفوفات من أجل تنظيم البيانات لسهولة التعامل معها وكذلك في حل المعادلات الرياضية والكثير من العلوم في الفيزياء والهندسة والاحصاء وغيرها.
تسمى الأعداد والأرقام بعناصر المصفوفة أو المدخلات. تتألف المصفوفة من عدد من الصفوف m والأعمدة n. فالمصفوفة تتألف من m صف و n عمود أو يقال مصفوفة m×n. مثال:
المصفوفة التالية هي مصفوفة 4×2 أي مصفوفة تتألف من صفين و4 أعمدة.
| C = |
|
للمصفوفة قطر رئيسي وقطر ثانوي. في المصفوفة التالية القطر الرئيسي هو الأعداد الملونة بالأحمر.
| 2 | 6 | 4 |
| 4 | 3 | 11 |
| 3 | 7 | 9 |
والمصفوفة التالية هي مصفوفة 3×3 القطر الثانوي هو مجموعة الأعداد الملونة بالأحمر.
| 2 | 6 | 4 |
| 4 | 3 | 11 |
| 3 | 7 | 9 |
بما أن الصفوف تأخذ رقما والأعمدة كذلك. يكون لكل عنصر من عناصر المصفوفة رقمن يحددان موقعه. مثلا الرقم 2 في المصفوفة السابقة يقع في الصف الأول والعمود الأول. لذلك يمكن أن نرمز لموقعه على الشكل 21,1. والعنصر 11 يقع في السطر الثاني والعمود الثالث لذلك يمكن أن نكتب 112,3. ويرمز لموقعه (رقم الصف i) وموقعة عموديا بالرمز j. والرسم التالي يوضح مثالا عن الترقيم:
المصفوفة التالية هي مصفوفة 5×5 أي 5 صفوف و5 أعمدة.
| C5×5 = |
|
أنواع المصفوفات
- المصفوفة العمودية
- المصفوفة السطرية
- المصفوفة المربعة
- المصفوفة المستطيلة
- المصفوفة السلمية
- المصفوفة الصفرية (المعدومة)
- المصفوفة الأحادية الواحدة)
- المصفوفة القطرية
- المصفوفة المثلثية العليا
- المصفوفة المثلثية الدنيا
- المصفوفة المتناظرة (المتماثلة)
- المصفوفة متعاكسة التناظر (المتقابلة)
- المصفوفة الماركوفية
المصفوفة العمود أو العمودية
المصفوفة العمودية Column Matrix هي المصفوفة التي تتكون من عمود واحد فقط من العناصر.
المصفوفة التالية هي مصفوفة عمودية لأنها تتألف من عمود واحد من العناصر.
| 5 |
| 1 |
| -9 |
المصفوفة السابقة تتألف من عمود واحد و3صفوف
المصفوفة السطرية
المصفوفة السطر أو الصفية Row Matrix هي المصفوفة التي تتكون من سطر واحد فقط من العناصر.
مثال عن المصفوفة السطرية:
| 1 | 0 | 5 |
| 1 | 9 | 8 | 7 |
المصفوفة المربعة
هي المصفوفة التي لها نفس عدد الأسطر والأعمدة أي n = m وبالتالي مكن تسميتها مثلا Sn×n. مثال عن المصفوفة المربعة:
| 1 | 5 | 9 |
| 3 | 5 | 7 |
| 6 | 4 | 0 |
| 1 | 4 |
| 3 | 8 |
المصفوفة المستطيلة
هي المصفوفة التي لا تتساوى عدد أسطرها وعدد أعمدتها. مثلا لو كان لها 3 أسطر فيجب أن تكون عدد أعمدتها أكبر أو أصغر من 3. مثال عنها:
| 0 | 5 | 1 |
| 0.4 | 9 | 7 |
للمصفوفة السابقة سطرين و 3 أعمدة وهي مصفوفة مستطيلة.
مثال آخر:
| 0 | 5 |
| 1 | 2 |
| 3 | 1 |
| 4 | 7 |
المصفوفة السابقة مصفوفة مستطيلة عدد أسطرها 4 وعدد أعمدتها 2
راجع ما تعلمته: ما نوع المصفوفة التالية: (الاجابة الصحيحة ستظهر باللون الأخضر)
| 1 | 2 | 3 |
المصفوفة السُلَّمية
هي مصفوفة مربعة تكون جميع عناصرها تساوي الصفر عدا عناصر القطر الرئيسي تكون متساوية ومغايرة للصفر. أمثلة:
| -8 | 0 | 0 |
| 0 | -8 | 0 |
| 0 | 0 | -8 |
| 6 |
| 4 | 0 |
| 0 | 4 |
المصفوفة الصفرية (المعدومة)
إن المصفوفة الصفرية أو المعدومة Zero or Null Matrix هي المصفوفة التي تكون جميع عناصرها أصفار. يمكن أن تكون مربعة أو مستطيلة أي ليس بالرورة أن يتساوى عدد أعمدتها وصفوفها
أمثلة عن المصفوفة الصفرية:
| 0 | 0 |
| 0 | 0 |
| 0 |
| 0 |
المصفوفة الواحدية أو الأحادية أو الوحدة
هي مصفوفة مربعة جميع عناصرها أصفاراً عدا عناصر القطر الرئيسي تكون واحدات. ويرمز لها بالرمز In
أمثلة عن المصفوفة الواحدية:
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
| 1 |
أي أن شرط المصفوفة الواحدية هو:
- aij = 1 إذا كان i = j
- aij = 0 إذا كان i ≠ j
المصفوفة القطرية Diagonal matrix
هي مصفوفة مربعة جميع عناصرها أصفارا عدا عناصر القطر الرئيسي. (أي مثل الواحدية باستثناء أن عناصر القطر الرئيسي تكون أعدادا وليست واحدات)
أمثلة عن المصفوفة القطرية:
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 5 | 0 |
| 0 | 0 | 4 |
| 5 | 0 |
| 0 | 2 |
| 5 |
صفات المصفوفات تراكبية, بمعنى المصفوفة الواحدية هي مصفوفة قطرية ولكن عناصر القطر الرئيسية فيها تساوي 1
سؤال: ما نوع المصفوفة التالية:
| 6 | 0 | 0 |
| 0 | 6 | 0 |
| 0 | 0 | 6 |
المصفوفة المثلثية العليا
المصفوفة المثلثية العليا Upper Triangular Matrix هي مصفوفة مربعة تكون جميع العناصر التي تقع تحت القطر الرئيسي أصفارا.
أمثلة عن المصفوفة المثلثية العليا:
| 1 | 5 | 7 |
| 0 | 9 | 1 |
| 0 | 0 | 4 |
| 1 | 5 |
| 0 | 9 |
المصفوفة المثلثية الدنيا
المصفوفة المثلثية الدنيا Lower Triangular Matrix هي المصفوفة التي تكون جميع العناصر التي تقع فوق القطر الرئيسي أصفارا. وهي مربعة بالتأكيد. أمثلة عن المصفوفة المثلثية الدنيا:
| 1 | 0 |
| 4 | 7 |
| 1 | 0 | 0 |
| 5 | 2 | 0 |
| 2 | 0 | 7 |
المصفوفة المتناظرة (المتماثلة)
هي مصفوفة مربعة يكون فيها كل عنصرين متقابلين بالنسبة للقطر الرئيسي متساويان. أي أن aij = aji مهما كان i و j.
مثال
لاحظ: وفقا لهذا التعريف يمكن اعتبار المصفوفة الصفرية والواحدية مصفوفات متناظرة. أليس كذلك؟
| 1 | 0 | 9 |
| 0 | 2 | -1 |
| 9 | -1 | 7 |
| 2 | 4 | 6 | 5 |
| 4 | 4 | 3 | 6 |
| 6 | 3 | 1 | 0 |
| 5 | 6 | 0 | 7 |
المصفوفة متعاكسة التناظر (المتقابلة)
هي مصفوفة مربعة يكون كل عنصرين متقابلين بالنسبة للقطر الرئيسي متساويان بالقيمة المطلقة ومتعاكسان بالاشارة. أي aij = -aji مهما كان i و j.
مثال عن المصفوفة متعاكسة التناظر:
| 5 | -4 | 6 | 5 |
| 4 | 8 | 9 | -6 |
| -6 | -9 | 1 | 0 |
| -5 | 6 | 0 | 0 |
المصفوفة الماركوفية
اسمها غريب نعم. هي مصفوفة مربعة يتحقق فيها شرطان:
- أي عنصر من عناصرها أكبر أو يساوي الصفر.
- مجموع عناصر أي عمود من أعمدتها يساوي 1.
مثال عن المصفوفة الماركوفية:
| 0 | 0.4 | 1 |
| 0.3 | 0.5 | 0 |
| 0.7 | 0.1 | 0 |
ما نوع المصفوفة التالية:
| 0.5 | 4 | 1 |
| 0 | 6 | -5 |
| 0 | 0 | 11 |