جدول المحتويات
المعادلة المراد حلها هي:
$$x^2 – 5x – 6 = 0$$
سنقوم بحل المعادلة بطريقتين. طريقة التحليل وطريقة القانون العام.
حل المعادلة x² – 5x – 6 = 0 بالتحليل إلى العوامل
لحل المعادلة بالتحليل، نبحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي الحد الثابت \(-6\) ومجموعهما يساوي معامل \(x\) \(-5\).
العددان هما \(-6\) و \(1\)، لأن:
- \({(-6) \times (1) = -6}\)
- \({(-6) + (1) = -5}\)
الآن يمكننا كتابة المعادلة على شكل جداء قوسين كالتالي:
$$(x – 6)(x + 1) = 0$$
نساوي كل عامل بالصفر لإيجاد قيم \(x\):
إما:
$$x – 6 = 0 \Rightarrow x = 6$$
أو:
$$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$$
وبالتالي تكون حلول المعادلة بطريقة التحليل هي: \(x = 6\) أو \(x = -1\)
طريقة التحليل من الطرق المختصرة والجميلة التي تعتمد على تشغيل العقل, إضافة لذلك توفر علينا الوقت المستغرق في الحل بالطريقة التقليدية (طريقة القانون العام دلتا).
حل المعادلة x² – 5x – 6 = 0 باستخدام القانون العام
المعادلة التربيعية العامة هي \(ax^2 + bx + c = 0\). وبمقارنتها بمعادلتنا \(x^2 – 5x – 6 = 0\)، نجد أن:
- \(a = 1\)
- \(b = -5\)
- \(c = -6\)
القانون العام لحل المعادلة التربيعية من الدرجة الثانية هو:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$
نعوض بقيم \(a\) و \(b\) و \(c\) في القانون:
$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 – 4(1)(-6)}}{2(1)}$$
$$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$$
$$x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2}$$
$$x = \frac{5 \pm 7}{2}$$
نحصل على حلين:
الحل الأول \(x_1\):
$$x_1 = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$$
الحل الثاني \(x_2\):
$$x_2 = \frac{5 – 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$
حلول المعادلة بالطريقة الثانية هي: \(x = 6\) أو \(x = -1\)
قد يهمك:
حل المعادلة x² – 5x – 6 = 0 بطريقة إكمال المربع
المعادلة الأصلية هي \(x^2 – 5x – 6 = 0\)
أولا نقوم بعزل الحد الثابت, ننقل الحد الثابت \(-6\) إلى الطرف الأيمن من المعادلة:
$$x^2 – 5x = 6$$
الآن نقوم بإكمال المربع: لإكمال المربع، نضيف مربع نصف معامل \(x\) إلى كلا الطرفين. معامل \(x\) هو \(-5\)، ونصفه هو \(-\frac{5}{2}\). مربع نصف المعامل هو \(\left(-\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}\).
نضيف المقدار \(\frac{25}{4}\) إلى الطرفين:
$$x^2 – 5x + \frac{25}{4} = 6 + \frac{25}{4}$$
نقوم الآن تبسيط الطرفين. نكتب الطرف الأيسر على شكل مربع كامل، ونوحد المقامات في الطرف الأيمن:
$$\left(x – \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{24}{4} + \frac{25}{4}$$
$$\left(x – \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{49}{4}$$
نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين:
$$x – \frac{5}{2} = \pm\sqrt{\frac{49}{4}}$$
$$x – \frac{5}{2} = \pm\frac{7}{2}$$
لإيجاد الحلول النهائية ننقل \(\frac{5}{2}\) إلى الطرف الأيمن ونحسب الحلين:
الحل الأول (\(x_1\)):
$$x_1 = \frac{5}{2} + \frac{7}{2}$$
$$x_1 = \frac{12}{2} = 6$$
الحل الثاني (\(x_2\)):
$$x_2 = \frac{5}{2} – \frac{7}{2}$$
$$x_2 = \frac{-2}{2} = -1$$
