شرح المثلث بشكل مبسط وشامل

المقال التالي هو مقال تعريف بالمثلث وخصائصه, بالاضافة إلى أنواع المثلثات حسب الأضلاع والزوايا, والتعاريف الهامة والأساسية مثل الارتفاع والمنصف والمتوسط والدائرة الداخلية والدائرة الخارجية. بالإضافة إلى القوانين الاساسية لحساب مساحة المثلث ومحيطه. وهناك روابط لمقالات أكثر توسعاً لكل تعريف ومفهوم. قراءة ممتعة.

تعريف المثلث وخصائصه: المثلث هو شكل هندسي يتكون من ثلاثة أضلاع مستقيمة تتلاقى عند ثلاثة رؤوس. هذه الأضلاع والرؤوس تحدد ثلاثة زوايا داخلية. يعتبر المثلث من أبسط الأشكال المغلقة في الهندسة، وهو أساس هام للعديد من المفاهيم والنظريات الرياضية.

من خصائص المثلث هو أن مجموع طولي أي ضلعين يجب أن يكون أكبر من الضلع الثالثة. وكذلك إذا كان طول ضلع فيه أكبر من ضلع أخرى فإن الزاوية المقابلة للضلع الأكبر تكون أكبر من الزاوية المقابلة للضلع الآخر.

أضلاع وزوايا المثلث

يتكون المثلث من ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا.

مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي مثلث هو 180 درجة. اطلع على مقال تمارين حساب اضلاع وزوايا المثلث الذي يضم 16 تمرين مختلف لجميع الحالات.

أي إذا عرفنا قياس زاويتين في المثلث, فيمكننا معرفة الزاوية الثالثة بكل تأكيد حيث تساوي 180 - مجموع قياسي الزاويتين الباقيتين.

مثال: إذا علمت كانت قياسي الزاويتين A و B في المثلث 30 و 20 فتكون الزاوية الثالثة 180 - (30+20) = 150

بشكل عام وهو أمر اصطلاحي, نكتب الزوايا بحرف كبير (A, B, C) وترمز للأضلاع بالحرف اللاتيني الصغير (a, b, c) ويكون مثلا الضلع a مقابل للزاوية A والضلع b مقابلا للزاوية B وهكذا.

انواع المثلثات وفقاً لقياس الزوايا

لنبدأ بتصنيف الزوايا, تصنف الزوايا وفقاً للتالي:

• الزاوية الحادة هي الزاوية التي يكون قياسها أصغر من 90 درجة.
• الزاوية المنفرجة هي الزاوية التي يكون قياسها أكبر من 90 درجة.
• الزاوية القائمة هي الزاوية التي يكون قياسها 90 درجة.

ووفقاً لهذا التصنيف تنقسم المثلثات وفقاً لقياس الزوايا إلى 3 انواع:

1. المثلث القائم الزاوية: يحتوي على زاوية واحدة قياسها 90 درجة. الضلع المقابل للزاوية القائمة يسمى الوتر وهو أطول ضلع في المثلث القائم.
   مثال: مثلث أضلاعه 3 سم، 4 سم، 5 سم هو مثلث قائم ويمكنك التأكد باستخدام حاسبة المثلث.
2. المثلث الحاد الزوايا: تكون كل زاوية من زواياه زاوية حادة (أصغر من 90°)
3. المثلث المنفرج الزاوية: تكون إحدى زواياه منفرجة (أكبر من 90° درجة).

قانون فيثاغورث في المثلث القائم

ينص قانون فيثاغورث في المثلث القائم أن مربع طول الوتر = مجموع مربعي طولي الضلعين القائمتين. وهو إحدى القوانين الهامة في علم المثلثات الذي يجب على جميع الطلاب حفظه.

استنتج العالم فيثاغورث هذا القانون منذ حوالي 2000 سنة قبل الميلاد.

أنواع المثلثات وفقا لطول الأضلاع

يمكن تصنيف المثلثات بناءً على أطوال أضلاعها :

• المثلث متساوي الساقين: يكون فيه ضلعين متساويين في الطول. وتكون الزاويتين المجاورتين لتلك الضلعين متساويتين أيضاً.
• المثلث متساوي الأضلاع: جميع أضلاعه متساوية في الطول، وزواياه متساوية (كل منها 60 درجة).
  مثال: مثلث أضلاعه جميعها 5 سم ومثلث آخر أطوال أضلاعه 7 و آخر 100. كل تلك المثلثات تتساوى في قياسات زواياها وتكون كل زاوية 60 درجة.
  
• المثلث مختلف الأضلاع: جميع أضلاعه مختلفة في الطول. ومن خصاصه أن قياس زواياه مختلفة أيضاً مثال: مثلث أضلاعه 2 سم، 3 سم، 4 سم.
  

نستنتج مما سبق أنه إذا وجد مثلث قائم ومتساوي الساقين. فإن قياس الزاويتين المتساويتين 45 درجة. لأن الزاوية الأخير 90 درجة.

مساحة المثلث

مساحة المثلث هي مقدار السطح المحصور داخل أضلاعه. تحسب عادة باستخدام القاعدة والارتفاع وهو القانون العام لحساب مساحة المثلث.

مساحة المثلث=½ × القاعدة × الارتفاع

مثال: مثلث قاعدته 8 سم وارتفاعه 6 سم، مساحته هي: (1/2) × 8 × 6 = 24 سم مربع.

محيط المثلث

محيط المثلث هو مجموع أطوال أضلاعه الثلث. المحيط=الضلع1+الضلع2+الضلع3. اطلع على مقال قانون محيط المثلث وفيه كافة القوانين اللازمة لحساب محيط المثلث.

مثال: مثلث أضلاعه 5 سم، 7 سم، 9 سم. محيطه هو 5 + 7 + 9 = 21 سم.

الارتفاعات

هو قطعة مستقيمة مرسومة من أحد رؤوس المثلث بشكل عمودي على الضلع المقابل لهذا الرأس (أو على امتداده). لكل مثلث ثلاثة ارتفاعات، تتقاطع جميعها في نقطة واحدة تُعرف باسم نقطة التقاء الارتفاعات أو الملتقى العمودي. لكل مثلث ثلاثة ارتفاعات.

في المثلث القائم يكون الضلعين القائمتين ارتفاعين في المثلث. والارتفاع الثالث هو العمود النازل من الزاوية القائمة على الوتر.

المتوسطات

متوسط المثلث هو قطعة مستقيمة تصل بين إحدى زوايا المثلث ومنتصف الضلع المقابل لهذا الرأس. وللمثلث 3 متوسطات تتقاطع في نقطة تسمى مركز ثقل المثلث أو نقطة التقاء المتوسطات.

من خواص نقطة التقاء المتوسطات أنها تقسم كل متوسط إلى قسمين أحدهما ضعف طول الآخر. القسم البعيد عن الزاوية يكون ضعف القسم القريب منها.

المنصفات

منصف زاوية المثلث هو الخط الواصل بين أي زاوية في المثلث والضلع المقابل لها بحيث يقسم تلك الزاوية إلى زاويتين متساويتين. تتقاطع منصفات الزوايا الثلاثة في نقطة تسمى مركز الدائرة الداخلية للمثلث.

الدائرة الداخلية في المثلث (الدائرة الماسة من الداخل)

الدائرة الداخلية هي الدائرة الوحيدة التي تمس أضلاع المثلث من الداخل. ومركز الدائرة الداخلية للمثلث هو نقطة تقاطع المنصفات الداخلية لزوايا المثلث. وتكون هذه النقطة على بعد متساو من أضلاع المثلث (أي إذا أنزلنا عموداً من تلك النقطة إلى كل من أضلاع المثلث. فتكون تلك الاعمدة الثلاث متساوية ويساوي كل منها نصف قطر الدائرة الداخلية).

الدائرة الداخلية للمثلث هي أكبر دائرة يمكن رسمها داخل المثلث.

يمكن حساب نصف قطر الدائرة الداخلية باستخدام العلاقة:

مثال: مثلث مساحته 12 سم مربع ونصف محيطه 8 سم، كم يبلغ نصف قطر الدائرة الداخلية له؟

بتطبيق القانون يكون 12 / 8 = 1.5 سم.

الدائرة الخارجية للمثلث (الدائرة المارة بالرؤوس)

الدائرة الخارجية هي الدائرة التي تمر برؤوس المثلث. نصف قطرها (R) هو المسافة من مركز هذه الدائرة (نقطة تقاطع المحاور العمودية لأضلاع المثلث) إلى أي من رؤوس المثلث. يمكن حساب نصف قطر الدائرة الخارجية باستخدام العلاقة:

حيث a و b و c هي أطوال أضلاع المثلث و A هي مساحته.

تمرين: أوجد نصف قطر الدائرة الخارجية للمثلث الذي أضلاعه 3 سم، 4 سم، 5 سم، ومساحته 6 سم مربع.

الحل: يحسب نصف قطر الدائرة الخارجية وفقاً للعلاقة: (3 × 4 × 5) / (4 × 6) = 2.5 سم.