حساب مساحة المثلث

سنقدم لكم طريقة حساب مساحة المثلث بشكل عام مع ادوات التعلم والتأكد من حساباتك. هنالك مجموعة من القوانين من أجل حساب مساحة المثلث. وسنذكر هذه القوانين بالتفصيل مع الأمثلة من أجل المثلث القائم ومتساوي الأضلاع وغير ذلك. بالاضافة إلى حساب مساحة المثلث بمعلومية أطوال أضلاعه الثلاث فقط (قانون هيرون) او ضلعين وزاوية وغير ذلك من الطرق.

اطلع على مقال حاسبة المثلث اون لاين الذي فيه برنامج لحساب كافة زوايا واضلاع المثلث ومساحته ومحيطه ومعلومات اخرى بمجرد إدخال قيم معينة بالاضافة إلى رسم المثلث في المستوي.

قانون مساحة المثلث

يعطى قانون مساحة المثلث العام وفق العلاقة التالية:

مساحة المثلث = 0.5 القاعدة * الارتفاع

ويقصد بالقاعدة أي ضلع من أضلاع المثلث.

ويقصد بالارتفاع: الارتفاع المتعلق بتلك القاعدة حصراً, أي النازل من الرأس المقابل لتلك القاعدة عمودياً عليها.

ويصلح أي ضلع من أضلاع المثلث أن يكون القاعدة ولكن عند حساب المساحة يجب اختيار الارتفاع المتعلق به حصراً. بالتالي يكون للمثلث 3 قواعد 3 ارتفاعات.

مساحة المثلث متساوي الساقين

يعطى قانون حساب مساحة المثلث متساوي الساقين بالعلاقة التالية:

مساحة المثلث متساوي الساقين = طول القاعدة x الجذر التربيعي (4 x طول احدى الضلعين المتساويين ² – طول القاعدة ²) ÷ 4

حساب مساحة مثلث بمعلومية ضلعين وزواية

يمكن حساب مساحة المثلث بمعلومية طول ضلعين فيه والزاوية بينهما

Area = ½ ab Sin C

مثال على ما سبق:

ليكن لدينا المثلث ABC معلوم فيه طول الضلع a = 10 وطول الضلع b = 15.والزاوية بين الضلعين السابقين تساوي 30 درجة. احسب مساحة المثلث السابق.

الحل:

1. يمكننا بتطبيق القانون السابق حساب مساحة المثلث Area = ½ ab Sin C
2. نعوض كلفة القيم في القانون: Area = ½ 10*15 Sin 30
3. وبالتالي تكون: Area = 75* 0.5
4. وتكون مساحة المثلث: Area = 37.5

حساب مساحة مثلث بمعلومية زاويتين وضلع بينهما

يمكننا حساب مساحة مثلث بمعلومية قياس زاويتين فيه وطول الضلع بينهما وذلك باستخدام قانون الجيوب والذي له أشكال وصيغ كثيرة يمكننا استخدام إحداها:

area = a² * sin(β) * sin(γ) / (2 * sin(β + γ))

مثال: احسب مساحة المثلث ABC طول ضلعه c=6 وزاويتيه

Angle ∠A = 0.46049 rad = 26.384° = 26°23’4″
Angle ∠B = 0.63418 rad = 36.336° = 36°20’10”

الحل: بتعويض القيم في المعادلة:

area = a² * sin(b) * sin(a) / (2 * sin(b + a))
area = 6² * sin(0.63) * sin(0.46) / (2 * sin(0.63 + 0.46))
area = 36 * 0.58 * 0.44 / (2 * sin(1.094))
area = 36 * 0.58 * 0.44 / (2 * 0.888)
area = 36 * 0.58 * 0.44 / (1.77)
area =5.19

مساحة المثلث تقريبية لأننا لم نأخذ كافة القيم بعد الفاصلة والمساحة الحقيقية هي 5.332

حساب مساحة المثلث بمعلومية أطوال أضلاعه (قانون هيرون)

يمكننا حساب مساحة المثلث بمعلومية أطوال أضلاعه الثلاث فقط باستخدام قانون هيرون:

حيث تمثل s نصف محيط المثلث.

s = (a + b + c)/2

وبالتالي يمكن كتابة قانون هيرو بالشكل التالي:

Area = 0.25 * √( (a + b + c) * (-a + b + c) * (a – b + c) * (a + b – c) )

مثال: ليكن لدينا المثلث ABC أطوال اضلاعه a, b, c على الترتيب 10 , 3 , 9 سم. احسب مساحة المثلث وفقاً لقانون هيرون.

حساب مساحة المثلث بدلالة أضلاعة ونصف قطر الدائرة المحيطة

يمكن حساب مساحة المثلث إذا علم منه اطوال أضلاعه الثلاثة ونصف قطر الدائرة الخارجية المحيطة به Circumcircle of a triangle أو المارة  برؤوس المثلث وفق القانون:

مساحة المثلث = a*b*c / 4r

Area = a*b*c / 4r

وللعلم: يمكن رسم الدائرة الخارجية المحيطة برسم متوسطات الأضلاع الثلاث. فتكون نقطة التقائها هي مركز تلك الدائرة

وبما أن قانون هيرون يعطينا مساحة المثلث بمعلومية اطوال أضلاعه الثلاث. فهذا القانون في الحقيقة سنستخدمه لحساب نصف قطر الدائرة الخارجية المارة برؤوس المثلث.

تمرين: المثلث التالي مأخوذ من موقع mathopenref.com وهو لرسم المثلث كيفما نشاء مع رسم الدائرة الخارجية المحيطة. وكما ترى فإن أطوال أضلاعه 15 و16 و 17. احسب نصف الدائرة الخارجية.

الحل: لحساب نصف قطر الدائرة الخارجية نستعين بالقانون:

Area = a*b*c / 4r

وكما نرى نحن بحاجة لحساب المساحة. لذا سنستعين بقانون هيرو في الفقرة السابقة لأن أطوال الأضلاع الثلاثة معلومة. وبعد تطبيق القانون تكون المساحة = 109.9818

الآن نعوض في القانون السابق

109.9818 = 15*16*17 / 4r

r = 4080/4*109.9819 = 9.274

وبالعودة إلى موقعنا السابق وإظهار نصف القطر نجد أن الحسابات صحيحة.

وظيفة: ليكن لدينا المثلث ABC أطوال اضلاعه a, b, c على الترتيب 10 , 3 , 5 سم. وإذا علمت ان قطر الدائرة الداخلية للمثلث d = 3. احسب مساحة المثلث.

حساب مساحة المثلث بمعلومية نصف المحيط ونصف قطر الدائرة الداخلية

نستطيع حساب مساحة المثلث إذا علمنا محيطه ونصف قطر الدائرة الداخلية المماسة لأضلاعه وفقا للقانون:

مساحة المثلث =rs

حيث r نصف قطر الدائرة الداخلية وهو العمود النازل من مركز الدائرة إلى أحد أضلاع المثلث.

بينما s تمثل نصف المحيط أي (a+b+c) ÷ 2

وللعلم فإن الدائرة الداخلية هي الدائرة التي يكون مركزها نقطة التقاء المنصفات لزوايا الثلاث للمثلث.

قانون جيوشاو لحساب مساحة المثلث

ينص قانون جيوشاو على أنه يمكننا حساب مساحة المثلث بمعرفة اطوال أضلاعه فقط. ولكن القانون أكثر تعقيداً في الحساب ويعطى بالمعادلة:

حساب مساحة المثلث القائم

إن المثلث قائمة الزاوية هو الوضع الخاص للقانون العام كما قلنا فإذا اعتبرنا إحدى ضلعيه القائمتين قاعدة فالاخرى تكون ارتفاعا. ويؤال القانون إلى شكله البسيط: مساحة المثلث القائم = 0.5 × الضلع القائمة الأولى × الضلع القائمة الثانية

مسألة

يبلغ طول القاعدة لمثلث قائم الزاوية 8 سم، وارتفاعه 6 سم. ما هي مساحة هذا المثلث؟

الحل:
يمكن حساب مساحة المثلث باستخدام الصيغة التالية:
مساحة المثلث = (1/2) × القاعدة × الارتفاع

وبتعويض القيم المعطاة في الصيغة، يتم الحصول على النتيجة كالتالي:
مساحة المثلث = (1/2) × 8 سم × 6 سم
مساحة المثلث = 24 سم مربع إذاً، مساحة هذا المثلث 24 سم مربع.

إن كافة القوانين السابقة هي قوانين عامة ويمكن تطبيقها على كافة انواع المثلثات. إلا ان للمثلث القائمة وضع خاص مميز يمكن ان نزيد له قانون إضافي يساعدنا في حساب مساحته بدلالة الوتر والمحيط فقط.

ويعطى قانون مساحة المثلث القائمة بالعلاقة التالية:

مساحة المثلث القائم = 0.24 * (مربع المحيط – 2 * المحيط * الوتر)

Area = 0.24 * (p² – 2 × p × Hypotenuse)

برنامج حساب مساحة المثلث متساوي الأضلاع

وهي من أسهل الحسابات كل ما علينا معرفته لحساب مساحة المثلث متساوي الأضلاع هو طول ضلع المثلث ليكون الحساب وفق المعادلة:

area = a² * √3 / 4

وهذا القانون يمكن استنتاجه في حقيقة الأمر من معالة الجيوب أو معادلة حساب مساحة المثلث الذي علم فيه ضلعين وزاوية بينهما وهو:

area = 0.5 * a * b * sin(γ)

نحن نعلم أن كل زاوية في المثلث متساوي الأضلاع تساوي 60 درجة أو π/3 rad, ولأن كافة اﻷضلاع متساوية فإن a = b وبالتعويض بالمعادلة يكون

area = 0.5 * a * b * sin(π/3)
area = 0.5 * a 2 sqrt3 /2
area = a² * √3 / 4

مثال: ليكن لدينا المثلث متساوي الأضلاع ABC طول ضلعه 3 سم احسب مساحة المثلث
الحل:
نطبق القانون:

area = a² * √3 / 4
area = 3² * √3 / 4
area = 9√3 / 4
area = 3.897 cm