جدول المحتويات
الحل الأول: بالتحليل (الطريقة السريعة)
لحساب المعادلة \(x^2 + 2x – 8 = 0\)، أسهل طريقة هي التحليل.
نبحث عن عددين، إذا ضربناهما كانت النتيجة \(-8\)، وإذا جمعناهما كانت النتيجة \(+2\).
فلنفكر قليلاً… العددين هما \(+4\) و \(-2\). لأن:
- \(4 \times (-2) = -8\)
- \(4 + (-2) = 2\)
إذن، يمكننا كتابة المعادلة هكذا:
$$(x + 4)(x – 2) = 0$$لكي يكون حاصل ضرب شيئين يساوي صفر، يجب أن يكون أحدهما أو كلاهما يساوي صفر.
الحالة الأولى:
$$x + 4 = 0$$ $$x = -4$$الحالة الثانية:
$$x – 2 = 0$$ $$x = 2$$وبكذا، حلي المعادلة هما \(x_1 = -4\) و \(x_2 = 2\).
الحل الثاني: باستخدام القانون العام
يمكننا دائمًا حل أي معادلة تربيعية مثل \(x^2 + 2x – 8 = 0\) باستخدام القانون العام. هذا القانون يعمل لكل المعادلات التربيعية.
القانون العام هو:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$من معادلتنا \(x^2 + 2x – 8 = 0\)، نحدد الأرقام:
- \(a = 1\) (الرقم اللي مع \(x^2\))
- \(b = 2\) (الرقم اللي مع \(x\))
- \(c = -8\) (الرقم لوحده)
الآن، نعوض هذه الأرقام في القانون:
$$x = \frac{-(2) \pm \sqrt{(2)^2 – 4(1)(-8)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 – (-32)}}{2}$$ $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$$ $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2}$$نحن نعرف أن \(\sqrt{36} = 6\). إذن:
$$x = \frac{-2 \pm 6}{2}$$الآن لدينا حلان:
الحل الأول: مع علامة الزائد (+)
$$x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$$الحل الثاني: مع علامة الناقص (-)
$$x_2 = \frac{-2 – 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$وبالتالي، الحلان هما \(x_1 = 2\) و \(x_2 = -4\).
الحل الثالث: بإكمال المربع
طريقة إكمال المربع هي طريقة أخرى لحل المعادلات التربيعية، وهي مفيدة لفهم كيفية عمل المعادلات.
المعادلة هي: \(x^2 + 2x – 8 = 0\)
الخطوة الأولى: انقل الرقم الثابت للطرف الثاني من المعادلة:
$$x^2 + 2x = 8$$الخطوة الثانية: خذ نصف معامل \(x\) (وهو \(2\)) وربّعه. نصف \(2\) هو \(1\)، ومربع \(1\) هو \(1^2 = 1\).
الخطوة الثالثة: أضف هذا الرقم ( \(1\) ) إلى كلا طرفي المعادلة:
$$x^2 + 2x + 1 = 8 + 1$$ $$x^2 + 2x + 1 = 9$$الخطوة الرابعة: الآن، الطرف الأيسر من المعادلة هو مربع كامل. يمكن كتابته على شكل \((x+1)^2\):
$$(x + 1)^2 = 9$$الخطوة الخامسة: خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين. لا تنسَ الإشارة \(\pm\) (زائد أو ناقص) عند أخذ الجذر التربيعي للرقم:
$$\sqrt{(x + 1)^2} = \pm \sqrt{9}$$ $$x + 1 = \pm 3$$الخطوة السادسة: الآن لدينا حالتان للحل:
الحالة الأولى: مع علامة الزائد (+)
$$x + 1 = 3$$ $$x = 3 – 1$$ $$x_1 = 2$$الحالة الثانية: مع علامة الناقص (-)
$$x + 1 = -3$$ $$x = -3 – 1$$ $$x_2 = -4$$وبذلك، الحلان هما \(x_1 = 2\) و \(x_2 = -4\)، وهي نفس النتائج التي حصلنا عليها بالطرق الأخرى.
قد يهمك أيضاً:
