جدول المحتويات
هذه المعادلة من الدرجة الثانية تحل بأكثر من طريقة. حيث يمكن حلها باستخدام القانون العام أو قانون دلتا. وهي الطريقة التقليدية. ويمكن حلها أيضاً باستخدام طريقة التحليل, وهي طريقة تعتمد على مهاراتك في تحليل المعادلة, إذا اعتدت على هذه الطريقة فإنها أسرع في الحل. لنناقش الحلول.
حل المعادلة بطريقة المميز دلتا
أهم طرق حل المعادلات من الدرجة الثانية هي طريقة المميز دلتا أو الطريقة التقليدية. لنكتب المعادلة:
$$x^2-2x+1=0$$
الشكل العام للمعادلة:
$$ax^2+bx+c = 0$$
نلاحظ أن المعاملات الثلاث a, b, c لها القيم التالية:
$$a=1, b=-2, c=1$$
- \(a = 1\) (وهو الرقم الذي يسبق \(x^2\))
- \(b = -2\) (وهو الرقم الذي يسبق \(x\))
- \(c = 1\) (وهو الحد الثابت)
صيغة القانون العام هي:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$الآن، لنعوض هذه القيم في القانون العام:
$$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 – 4(1)(1)}}{2(1)}$$لنكمل الحسابات خطوة بخطوة:
$$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 – 4}}{2}$$ $$x = \frac{2 \pm \sqrt{0}}{2}$$بما أن الجذر التربيعي للصفر هو صفر، تصبح المعادلة:
$$x = \frac{2 \pm 0}{2}$$هذا يعني أن لدينا حلاً واحداً فقط، حيث أن إضافة أو طرح الصفر لا يغير القيمة:
$$x = \frac{2}{2}$$ $$x = 1$$وبالتالي يكون الحل الوحيد للمعادلة: \(x = 1\).
الحل بطريقة إكمال المربع
لحل المعادلة \(x^2 – 2x + 1 = 0\)، أبسط طريقة هي أن نلاحظ أنها تمثل مربعاً كاملاً.
المعادلة التربيعية التي تكون على شكل \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) تسمى مربعاً كاملاً.
في معادلتنا، يمكننا رؤية أن:
- الحد الأول \(x^2\) هو مربع \(x\).
- الحد الأخير \(+1\) هو مربع \(1\).
- الحد الأوسط \(-2x\) هو ضعف حاصل ضرب \(x\) و \(-1\) (أي \(2 \times x \times -1\)).
لذلك، يمكننا إعادة كتابة المعادلة بالشكل التالي:
$$(x – 1)^2 = 0$$لكي يكون مربع عدد مساوياً للصفر، يجب أن يكون العدد نفسه مساوياً للصفر. إذن:
$$x – 1 = 0$$لحل هذه المعادلة البسيطة، نضيف 1 إلى كلا الطرفين:
$$x = 1$$وهكذا، نجد أن للمعادلة حلاً واحداً فقط هو \(x = 1\). هذا يسمى حلاً مكرراً أو مضاعفاً.
حل المعادلة بطريقة التحليل
طريقة أخرى لحل المعادلة \(x^2 – 2x + 1 = 0\) هي التحليل إلى عوامل عن طريق البحث عن عددين.
نحن نبحث عن عددين إذا:
- ضربناهما كانت النتيجة \(+1\) (الحد الثابت في المعادلة).
- جمعناهما كانت النتيجة \(-2\) (معامل \(x\) في المعادلة).
فلنفكر قليلاً في الأعداد التي تنطبق عليها هذه الشروط. العددان هما \(-1\) و \(-1\):
- عند ضربهما: \((-1) \times (-1) = +1\)
- عند جمعهما: \((-1) + (-1) = -2\)
بما أننا وجدنا هذين العددين، يمكننا إعادة كتابة المعادلة على شكل أقواس:
$$(x – 1)(x – 1) = 0$$أو ببساطة:
$$(x – 1)^2 = 0$$لكي يكون حاصل ضرب عاملين (أو مربع عامل) يساوي صفراً، يجب أن يكون العامل نفسه صفراً:
$$x – 1 = 0$$بإضافة 1 إلى كلا الطرفين، نحصل على:
$$x = 1$$وهذا يؤكد أن الحل الوحيد للمعادلة هو \(x = 1\).
قد يهمك أيضاً:
