تمارين الدائرة المارة برؤوس المثلث

تعد الدائرة المحيطة بالمثلث (Circumcircle) من أهم المفاهيم في الهندسة المستوية، حيث ترتبط بخصائص “المحاور” ونقطة تلاقيها التي تمثل مركز الدائرة. يختلف موقع هذا المركز تماماً بناءً على تصنيف المثلث من حيث زواياه.

يتضمن المقال العديد من التمارين التي تناسب طلاب الصف السابع والصف الثامن الاعدادي.

الدائرة المارة برؤوس المثلث: المفاهيم الأساسية

1. المحاور والمركز

المحور هو المستقيم العمودي على ضلع المثلث من منتصفه. القاعدة الهندسية ثابتة: “تتلاقى محاور أضلاع أي مثلث في نقطة واحدة هي مركز الدائرة المارة برؤوسه.”

لاحظ في الصورة المحاور L1, L2, L3 عمودية وتنصف أضلاع المثلث. وهي تمر بمركز الدائرة المارة برؤوس المثلث.

قد يهمك: تمارين حساب اضلاع وزوايا المثلث

2. موقع المركز حسب نوع المثلث

• المثلث حاد الزوايا: يقع مركز الدائرة داخل المثلث.
• المثلث منفرج الزاوية: يقع مركز الدائرة خارج المثلث (مقابل الزاوية المنفرجة).
• المثلث قائم الزاوية: يقع المركز في منتصف الوتر تماماً.

بدلا من وضع 3 صور لفهم الحالات السابقة يمكنك من خلال البرنامج في الاسفل سحب رؤوس المثلث لتلاحظ موضع المركز. مثلا عندما تكون غحدى الزوايا قائمة يكون مركز الدائرة على الوتر وفي منتصف.

اسحب رؤوس المثلث الزرقاء لاستكشاف حركة المركز والمحاور.

تمارين تطبيقية

التمرين الأول: المثلث الحاد والزوايا المركزية

في مثلث حاد الزوايا \(ABC\)، إذا كانت \(O\) هي مركز الدائرة المحيطة به، وكان قياس الزاوية \(\angle BAC = 70^\circ\).

1. احسب قياس الزاوية المركزية \(\angle BOC\).
2. استنتج نوع المثلث \(OBC\) من حيث الأضلاع.

الحل:

• بما أن الزاوية المركزية ضعف الزاوية المحيطية المشتركة معها في القوس \(BC\): $$\angle BOC = 2 \times \angle BAC = 2 \times 70^\circ = 140^\circ$$
• المثلث \(OBC\) فيه \(OB = OC\) (نصف قطر)، فهو مثلث متساوي الساقين.

مقال هام: حاسبة المثلث الشاملة اون لاين مع الرسم

التمرين الثاني: المثلث المنفرج والمحاور

مثلث \(XYZ\) منفرج الزاوية في \(Y\). رسمنا المحور \(L_1\) للضلع \(XY\) والمحور \(L_2\) للضلع \(YZ\).

• إذا تقاطع المحوران في نقطة \(M\) تبعد عن الرأس \(Y\) مسافة \(8\) سم، فما هو البعد بين \(M\) والرأس \(X\)؟

الحل:

• نقطة تقاطع المحاور هي مركز الدائرة المحيطة، والبعد بين المركز وأي رأس من رؤوس المثلث ثابت ويساوي نصف القطر \(R\).
• إذاً \(MY = MX = MZ = 8\) سم. البعد هو \(8\) سم.

مسائل الدائرة المارة برؤوس المثلث

هذه المسائل تدمج بين الجبر والهندسة التحليلية وتصنيف المثلثات بطريقة لا تُدرس عادةً في المناهج التقليدية.

المسألة الأولى: لغز المثلث متساوي الساقين المنفرج

النص: مثلث \(ABC\) فيه \(AB = AC\). قياس الزاوية \(\angle A = 120^\circ\). إذا علمنا أن طول الضلع \(BC\) يساوي \(12\sqrt{3}\) سم.

1. صنف المثلث من حيث الزوايا والأضلاع.
2. احسب نصف قطر الدائرة المارة برؤوسه (\(R\)) باستخدام علاقة الزوايا والمحاور.

طريقة التفكير (الحل):

• المثلث منفرج الزاوية ومتساوي الساقين.
• نرسم المحور المتعلق بالقاعدة \(BC\)، سيمر بالرأس \(A\) وبالمركز \(O\) (الذي يقع خارج المثلث لأن الزاوية منفرجة).
• باستخدام قانون الجيوب (أو تقسيم المثلث لمثلثات ثلاثينية ستينية):$$R = \frac{BC}{2 \sin(A)} = \frac{12\sqrt{3}}{2 \sin(120^\circ)}$$$$\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$$$R = \frac{12\sqrt{3}}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = 12 \text{ سم}$$

المسألة الثانية: تحدي المحاور والمساحة

النص: مثلث \(DEF\) أطوال أضلاعه هي \(DE = 13\) سم، \(EF = 14\) سم، \(DF = 15\) سم.

1. أثبت أن المثلث حاد الزوايا (تلميح: استخدم مقارنة مربعات الأضلاع).
2. احسب نصف قطر الدائرة المارة برؤوسه علمًا أن مساحة هذا المثلث هي \(84\) سم².

طريقة التفكير (الحل):

• التصنيف: \(15^2 = 225\)، و \(13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365\). بما أن \(225 < 365\)، فالمثلث حاد الزوايا.
• حساب نصف القطر: هناك علاقة هندسية متقدمة تربط المساحة (\(S\)) بأضلاع المثلث (\(a, b, c\)) ونصف قطر الدائرة المحيطة (\(R\)):$$R = \frac{a \times b \times c}{4S}$$$$R = \frac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84} = \frac{2730}{336} = 8.125 \text{ سم}$$