جدول المحتويات
سنتعرف في مقالنا على طريقة حل المعادلات التربيعية عن طريق قانون المربع الكامل أو إكمال المربع وخصوصاً لطلاب ثالث متوسط. ينص قانون المربع الكامل على إعادة تهيئة المعادلة التربيعية من الدرجة الثانية لتصبح على شكل قوسين مضروبين ببعضهما. كل قوس يحتوي x فقط. وبالتالي التخلص من x2 وإيجاد قيم المجهول x بسهولة بمساواة كل قوس بالصفر. وسنطلع على قانون الفرق بين مربعي عددين الذي سيلزمنا في الحل.
الحل بطريقة المربع الكامل
يعطى الشكل العام للمعادلة التربيعة من الدرجة الثانية وفق ما يلي:
ax2+bx+c=0
سنحول المعادلة باستخدام المربع الكامل في البداية الى فرق مربعي عددين وفق الشكل:
x2-d2=0
وهذه الصيغة نعرف أننا يمكن كتابتها بالشكل:
(x-d)(x+d)=0
وبالتالي يمكننا الآن ايجاد قيم x بكل سهولة. حيث أنه لتكون المعادلة صحيحة إما x+d = 0 وبالتالي x=-d او x-d=0 وبالتالي x=+d.
الوقت اللازم: 3 دقائق
خطوات الحل وإعداد المربع الكامل
- إصلاح المعادلة
في البداية يجب التخلص من كل حد يمكن جمعه مع حد مشابه. مثلا نجمع امثال كل
x2مع نظيرتها إن وجدت وأمثال كل x مع أمثال x إن وجدت أيضاً ونجمع كل الأعداد مع بعضها حتى نصل للصيغة العامة النموذجية للمعادلة التربيعية.ax2+bx+c=0
ونقسم كل حدود المعادلة على امثال x2. لكي تصبح امثال x2 يساوي 1
وفي الصورة التالية مثال واضح عن إصلاح المعادلة لتهيئتها لتطبيق قانون المربع الكامل.
شرح الصورة: أول خطوة هي طرح 6 من طرفي المعادل). الخطوة الثانية تقسيم كل حد من حدود المعادلة على أمثال x2
- إيجاد المعامل: نقسم أمثال x على 2 ثم نربع الناتج
المعامل هو رقم على شكل كسر, لايجاده ننظر إلى أمثال x ثم نقسمه على العدد 2 ونقوم بتربيع الناتج. مثلا لو كان أمثال x هو العدد 6 فنقسم 6 على 2 أي 6/2 ونقوم بتربيعه أي يصبح 36/4.
ولا نقوم بايجاد قيمة 36/4 لسهولة الحل وإنما نكتبه بصيغة الكسر. وفي المثال الظاهر في الصورة أمثال X هو 10/3
- نضيف ونطرح المعامل الجديد للمعادلة
نقوم الآن بإضافة وطرح المعامل 100/36 للمعادلة.
- تحويل المعادلة إلى صيغة فرق مربعي عددين
نرتب المعادلة في مجموعتين: جزء يضم x2 و x والجزء الموجب من المعامل السابق أي
+100/36. والجزء الآخر يضم المعامل السالب مع الجزء العددي (2) من المعادلة. (انظر الصورة)
نوحد المقامات في الجزء الأخضر من المعادلة (لنحصل على(-28/36). يجب أن تكون الصيغةa2-b2لاحظ لا نعرف جذر العدد 28 لذا وضعنا إشارة الجذر دون إيجاد الناتج. فهنا تهمنا أن تكون الصيغة صحيحة (صيغة فرق مربعي العددين) وفي النهاية نوجد النتائج. - تحويل فرق مربعي عددين إلى جداء قوسين
نحول المطابقة الشهيرة فرق مربعي عددين إلى صيغة جداء قوسين والتي تساوي (الحد الأول + الحد الثاني) × (الحد الأول – الحد الثاني)
ينتج لدينا جداء قوسين مساويا للصفر، إما القوس الاول (الحد الاول) يساوي الصفر أو الحد الثاني يساوي الصفر. وبذلك نجد قيم x المحققة للمعادلة بكل سهولة.
وفي الأمثلة التالية تمارين كثيرة لتترسخ في أذهاننا طريقة اكمال المربع وكيفية الاستفادة من مطابقة فرق مربعي عددين وكيفية تحويلها.
تمارين على حل المعادلات التربيعية بالمربع الكامل
التمرين الأول
أوجد حلول المعادلة التربيعية التالية بطريقة إكمال المريع.
x2+6x-10=0
الحل:
- المميز دلتا = ب2-4*أ*ج = 62-4*1*(-10) اكبر من الصفر فالمعادلة قابلة للحل
- ننظر لأمثال x وهو العدد 6
- نقسم أمثال x على 2 ثم نربع الناتج
(6/2)2 = 9 - نضيف ونطرح من المعادلة العدد 9
x2+6x-10+9-9=0
x2+6x+9 -19=0
(x+3)2 -(√19)2=0
(x+3+√19)(x+3-√19)=0
وبالتالي فإن مجموعة حلول المعادلة: x=−3±√19
هام: قبل البدء الحل بطريقة اكمال المربع يجب أن نجد المحدد delta = b2-4 * a * c. فإن كان أصغر من الصفر نكمل الحل بشكل تقليدي ولكن نضيف i للحد الآخر لتمثيله في مجموعة الأعداد العقدية. والمثال التالي يوضح القضية.
التمرين الثاني
أوجد حلول المعادلة التربيعية (قيم x) بطريقة المربع الكامل:
3x2+7x+5=0
الحل:
المميز دلتا اصغر من الصفر .فالمعادلة غير قابلة للحل في مجموعة الأعداد الحقيقية, لكن ممكن الحل في مجموعة الاعداد العقدية. نكمل الحل بشكل تقليدي.
نقوم باصلاح المعادلة بالتقسيم على 3
x2+(7/3)x+5/3=0
معامل x هو 7/3 نقوم باضافة وطرح مربع نصفه (49/36)
وبالتالي:
x=−(7/6)±√11/6i
x1=−1.16667+0.552771i
x2=−1.16667−0.552771i
