حل معادلتين من الدرجة الاولى بمجهولين

مقالنا اليوم عن حل معادلتين من الدرجة الأولى بمتغيرين أو مجهولين بطريقة التعويض. نعبر عن جملة المعادلتين بالعلاقتين من الشكل:

• \(ax+by=c …(1)\)
• \(dx+ey=f …(2)\)

حيث أن a, b, c, d, e, f أعداد ثابتة معلومة القيمة و x, y هما المتغيرين. سنتناول في مقالنا تمارين كثيرة حول حل معادلتين من الدرجة الاولى بمجهولين بطريقة التعويض, أي نعزل أحد المجهولين في إحدى المعادلات ونعوض في المعادلة الثانية لتنتج قيمة المجهول الثاني. ثم نعود للمعادلة الاولى ونعوض قيمة المجهول الثاني لنحصل على قيمة المجهول الاول. والمثال خير دليل تتعلم.

تمارين حل معادلتين من الدرجة الاولى بمجهولين بطريقة التعويض

التمرين الأول

أوجد حل جملة المعادلتين التاليتين من الدرجة الأولى بمجهولين:

$${\begin{bmatrix}5x+3y=7\\ 3x-5y=-23\end{bmatrix}}$$

الحل: نقوم بعزل x في المعادلة الأولى

$${x=\frac{7-3y}{5}}$$

الآن نعوض قيمة x في المعادلة الثانية:

$${\begin{bmatrix}3\cdot \frac{7-3y}{5}-5y=-23\end{bmatrix}}$$

نقوم بتبسط المعادلة:

$${\begin{bmatrix}\frac{21-34y}{5}=-23\end{bmatrix}}$$

وبالتالي تكون قيمة y

$${y=4}$$

نعوض قيمة y في المعادلة الأولى من أجل الحصول على قيمة x

$${x=\frac{7-3y}{5}\\
x=\frac{7-3\cdot \:4}{5}=-1\\
x=-1}$$

وبالتالي تكون مجموعة الحلول للمعادلتين:

$${x=-1,\:y=4}$$

التمرين الثاني

$${}$$

لتكن لدينا المعادلتين التاليتين:

$${\begin{bmatrix}xy=10\\ 2x+y=1\end{bmatrix}}$$

الحل: نقوم بعزل x في المعادلة الأولى فيكون:

$${x=\frac{10}{y};\quad \:y\ne \:0}$$

نعوض x = 10/y في المعادلة الثانية:

$${2x+y=1\\
\frac{20}{y}+y = 1\\
20+y^2-y=0 }$$

وهي معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد (يمكنك الاطلاع على حل معادلة من الدرجة الثانية اون لاين للتأكد من الحل)

المعادلة مستحيلة الحل في مجموعة الاعداد الحقيقة ولكن ممكنة الحل في المجموعة العقدية. وبالتالي تكون قيم y

$${y=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{79}}{2},\:y=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{79}}{2}}$$

نعوض في المعادلة الاولىxy=10. من أجل القيمة الأولى لـ y

$${x=\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{79}}{4}}$$

من أجل القيمة الثاني لـ y تكون x:

$${x=\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{79}}{4}}$$

وبالتالي تكون مجموعة حلول المعادلتين:

$${\begin{pmatrix}x=\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{79}}{4},\:&y=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{79}}{2}\\ x=\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{79}}{4},\:&y=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{79}}{2}\end{pmatrix}}$$

التمرين الثالث

أوجد حل جملة المعادلتين التاليتين:

$${\begin{bmatrix}xy+x-4y=11\\ xy-x-4y=4\end{bmatrix}}$$

الحل:نوجد قيمة x بدلالة y من المعادلة الاولى (عزل x)

$${
xy+x-4y=11:\\
x=\frac{11+4y}{y+1};\quad \:y\ne \:-1
}$$

نعوض x في المعادلة الثانية من أجل إيجاد y:

$${\begin{bmatrix}\frac{11+4y}{y+1}y-\frac{11+4y}{y+1}-4y=4\end{bmatrix}}$$

بتبسيط الطرفين

$${\begin{bmatrix}\frac{3y-11}{y+1}=4\end{bmatrix}}$$

الآن نعزل y في المعادلة الثانية

$${\frac{3y-11}{y+1}=4:\quad y=-15}$$

نعوض قيمة y في الأولى

$${x=\frac{11+4y}{y+1}\\
x=\frac{11+4\left(-15\right)}{-15+1}\\
x=\frac{7}{2}}$$

وبالتالي تكون مجموعة الحلول للمعادلتين:

$${x=\frac{7}{2},\:y=-15,\:\quad \:y\ne \:-1}$$

التمرين الرابع

حل المعادلتين التاليتين:

$${\begin{bmatrix}x+1=2y\\ \frac{2\left(y+3x\right)}{5}=3y\end{bmatrix}}$$

الحل: نقوم بعزل x من المعادلة الاولى

$${x+1=2y:\quad x=2y-1}$$

نعوض x=2y−1 في المعادلة الثانية

$${\begin{bmatrix}\frac{2\left(y+3\left(2y-1\right)\right)}{5}=3y\end{bmatrix}}$$

نبسط الامور

$${\begin{bmatrix}\frac{2\left(7y-3\right)}{5}=3y\end{bmatrix}\\
y=-6}$$

الآن نعوض القيمة y=-6 في المعادلة الأولى

$${x=2y-1\\
x=2\left(-6\right)-1\\
x=-13}$$

وبالتالي مجموعة حلول جملة المعادلتين هي:

$${x=-13,\:y=-6}$$

التمرين الخامس

اوجد مجموعة حلول المعادلتين:

\begin{bmatrix}x+2y=2x-5\\ x-y=3\end{bmatrix}

نعزل x في المعادلة الاولى x+2y=2x−5 فيكون:

$${
x+2y=2x−5\\
x=5+2y
}$$

نعوض قيمة x في المعادلة الثانية فيكون لدينا:

$${\begin{bmatrix}5+2y-y=3\end{bmatrix}\\
5+y=3\\
y=-2
}$$

الان نعوض قيمة y = -2 في المعادلة x=5+2y فيكون:

$${x=5+2\left(-2\right)\\
x=1}$$

وبالتالي تكون حلول مجموعة المعادلات هي:

\[x=1,\:y=-2\]