قانون حجم الكرة

قانون حجم الكرة من القوانين التي يصعب إثباتها. نقدم لكم حاسبة حجم الكرة اون لاين بالاضافة إلى مسائل وتمارين و إثبات قانون حجم الكرة بالتكامل. وسنتحدث عن قانون حجم الكرة وهو : V = 4/3 πr³

حيث يشير الحرف V إلى الحجم (بالانكليزية Volume) و r هو نصف قطر الكرة وهو الخط الواصل بين مركز الكرة وأي نقطة على سطح الكرة الخارجي.

على الهامش: مقالنا حول قانون حجم الكرة مفيد لطلاب الصف الثاني الاعدادي أو الثانوي أو للذين يحاولون استرجاع ثوابت قوانين الرياضيات لاذهانهم.

وكما نعرف فإن واحدة الحجم تأخذ الصيغة التكعيبية لان الحجم يمثل في الفراغ ثلاثي الأبعاد ويمكن برهنة ذلك بالقوانين. فعلى سبيل المثال إذا أعطي نصف قطر القطرة بواحدة سم (cm) فإن الحجم يكون بـ سم³ أو (cm³). وإذا أعطي بواحدة المتر (m) فإن الحجم يكون بـ م³ او (m³)

قانون حجم الكرة

قبل البدء بمسائل بسيطة عن الكرة لنتذكر بعض القوانين الهامة والأساسية للكرة:

• قانون حجم الكرة = Volume = 4/3 πr³
• مساحة الكرة = Surface Area = 4πr2
• محيط الكرة = circumference = 2πr

محيط الكرة هو أي دائرة على سطح الكرة لها نفس مركز الكرة. أي نصف هذه الدائرة يساوي نصف قطر الكرة.

وقطر الكرة هو أطول خط مستقيم يصل بين نقطتين على سطح الكرة ويمر من مركزها.

إثبات قانون حجم الكرة

لنحاول إثبات قانون حجم الكرة من خلال التكامل علما أنه يوجد طرق أخرى لاثبات القانون منها من خلال قانوني الاسطوانة والمخروط.

أولا لنفرض لدينا الكرة التي في الصورة. ولنفرض ألقرص (أو الدائرة) الظاهر فيها على شكل شريحة مسطحة مستوية و أفقية من الكرة. حيث أن نصف قطر القرص هو x. والمثلث XZR قائم الزاوية. وكما هو واضح فإن r يمثل نصف قطر الكرة. فيكون وفقا لقانون فيثاغورث:

x² + z² = r²

والآن بايجاد x بدلالة z و r يكون:

x = √r²-z²

لحساب مساحة الدائرة نطبق قانون مساحة الدائرة ولكن نصف القطر هنا هو x فيكون:

A = π (√r²-z²)² = π (r²-z²)

الآن كل ما نحتاجه هو ايجاد مساحة الكرة والتي كما هو واضح مجموع مساحة كل الدوائر او الأقراص الأفقية من الاسفل للأعلى. وإذا فرضنا مركز الدائرة هي نقطة بدء الإحداثيات. فيكون مجال التكامل الخاص بنا هو من -r إلى r في الأعلى. أي سنكامل وفقا للمحور العمودي.

كيفية حل مسائل حجم الكرة

بعد أن تعلمنا أهم القوانين المتعلقة بالكرة يمكن الآن لأي شخص أن يحسب حجم الكرة أو مساحتها أو أي طلب دون اللجوء إلى حاسبة الكرة. فقط علينا تحليل المسألة وقف الخطوات التالية:

1. تحليل البيانات أو معطيات المسألة كلها وكتابتها على ورقة جانبية.
2. دراسة معطيات المسألة لمعرفة القيم المعلومة والقيمة المجهولة مثل حجم الكرة, القطر, نصف القطر, المساحة, المحيط..الخ
3. ايجاد نصف قطر الدائرة. إذا كان لدينا القطر معلوم. يمكننا ايجاد نصف القطر بالتقسيم على 2.
4. إذا علنما مساحة الكرة يمكننا حساب نصف القطر بسهولة من قانون مساحة الكرة Surface Area = 2πr2.
5. إذا اعطينا محيط الكرة فيمننا حساب نصف القطر من علاقة المحيط circumference = 2πr.
6. لا ننسى الانتباه لوحدات المسألة حيث نقوم بتوحيدها قبل الحل حتى لا تنتج قيما خاطئة.
7. في النهاية بعد جمع كل المعيات اللازمة يمكننا تطبيق قانون الكرة بتعويض نصف القطر فيه وحساب النتيجة.
8. لا ننسى كتابة واحدة الحجم في النهاية.

مسائل على حجم الكرة

المسألة الأولى

احسب حجم كرة التي نصف قطرها r = 15cm

الحل: كما أسلفنا يعطى قانون حجم الكرة بالعلاقة التالية:

V = (4/3) πr³
V = (4/3) π(15)³
V = (4/3) x π x 3375
= 14137.1669 cm³

المسألة الثانية

احسب حجم كرة إذا علمت أن محيطها 33 إنش.

الحل: محيط الكرة هو دائرة. نقوم اولا بكتابة قانون المحيط لنستنتج ما هي القيم التي يمكن إيجادها منه: محيط الكرة = 2×π×نصف القطر = 2πr. نلاحظ أن هذا القانون يفيدنا في إيجاد نصف القطر. نقوم بتعويض قيمة المحيط بالقانون (لنرمز للمحيط c):

c = 2πr
33 = 2πr
r = 33/2π
r = 5.2521 Inch

بعد أن قمنا بحساب نصف القطر يمكننا الآن بسهولة حساب حجم الكرة بتطبيق القانون بشكل مباشر والتعويض فيه. (الحجم Volume)

Volume = (4/3) πr³
Volume = (4/3) π(5.2521)³
Volume = (4/3) π x 144.8768
Volume = (1.33) x 455.14
Volume = 606.858 Inch³

المسألة الثالثة

قامت إحدى الشركات بتصنيع كرة مجوفة (مفرغة من الداخل مثل كرة القدم) وكانت سماكة القشرة الخارجية للكرة 0.3 سم. فإذا علمت أن قطر الكرة الكلي هو 4 سم. احسب حجم القشرة الخارجية وحجم التجويف الكروي ومساحة سطح الكرة من الداخل والخارج.

الحل: لا بد وأن نتخيل شكل الكرة المجوفة قبل الحل. حيث تقوم القشرة الخارجية للكرة المجوفة بقسم الشكل الهندسي إلى كرتين متداخلتين داخلية وأخرى محيطة بها. ويكون حجم القشرة الخارجية = حجم الكرة الكلية ذات السطح الخارجي- حجم الكرة الداخلية (التجويف الكروي).

• القطر الكلي 4 سم وبالتالي نصف قطر الكرة الكلية = 4÷2 = 2 سم.
• يمكننا الآن حساب حجم الكرة الكلية Volumeouter = (4/3) πr³ = (4/3) π(2)³ = 33.51 cm3

الآن من أجل حساب حجم الكرة الداخلية يجب حساب قطرها والذي = القطر الكلي للكرة – سماكة القشرة الخارجية. وبالتالي:

R’ = 4-0.3 = 3.7 cm

وبالتالي يكون نصف قطر الكرة الداخلية: r' = 3.7/2 = 1.85

بتطبيق قانون حجم الكرة على الكرة الداخلية يكون:

Volume_inner = (4/3) πr’³
Volume_inner = (4/3) π(1.85)³
Volume_inner = (4/3) π(6.332)
Volume_inner = 26.52 cm³

وهو حجم التجويف الكروي. وبالتالي يكون حجم القشرة الخارجية للكرة:

Volume_cortex = Volume_outer – Volume_inner
Volume_cortex = 33.51 – 26.52 ≈ 7 cm³

لاحظ أن حجم القشرة يساوي تقريبا خمس الحجم الكلي رغم أن سماكة القشرة 0.3 سم فقط وذلك لان الحيز المحيطي يحتل حجم كبير.

ولحساب مساحة سطح الكرة الخارجي نطبق القانون: Surface Area = 4πr2 = 4π(2)2 = 16π cm2

أما مساحة سطح الكرة الداخلي نطبق القانون على نصف قطر الكرة الداخلية والذي يساوي 1.85 فيكون:

مساحة سطح الكرة الداخلي Surface Area = 4πr2 = 4π(1.85)2 ≈ 13.7π cm2