جدول المحتويات
متوازي الأضلاع هو شكل هندسي يتكون من 4 أضلاع مستقيمة. يكون فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين ومتساويين بالطول. وتكون كل زاويتين متقابلتين متساويتين.
في ضوء هذا التعريف العام يمكننا القول إن المربع هو متوازي أضلاع إحدى زواياه قائمة وفيه ضلعين متجاورتين متساويتين. (مع هذه الشروط ستكون باقي الزوايا قائمة بالتأكيد)
ويمكننا القول أيضا أن المستطيل هو متوازي أضلاع إحدى زواياه قائمة وكل ضلعين متجاورتين فيه مختلفتين في الطول.
أي أن المستطيل والمربع هما حالة خاصة من متوازي الأضلاع.
إطلع على: حساب مساحة المربع
مساحة متوازي الأضلاع
مساحة متوازي الأضلاع الحيز من سطح المستوي المحصور بين أضلاعه الأربعة. يمكن حساب هذه المساحة باستخدام عدة طرق وقوانين، اعتمادًا على المعلومات المتاحة. في هذا المقال، سنستعرض جميع قوانين مساحة متوازي الأضلاع مع أمثلة عملية توضح كيفية تطبيق كل قانون.
مساحة متوازي الأضلاع باستخدام القاعدة والارتفاع
هذه هي الطريقة الأكثر شيوعًا وبساطة لحساب مساحة متوازي الأضلاع. والقاعدة هنا قد تكون أي ضلع من اضلاعه, والإرتفاع يكون العمود الواصل بين تلك القاعدة والضلع المقابلة لها (أو امتداده).
القانون: مساحة متوازي الأضلاع = القاعدة × الارتفاع
بالرموز العربية، يمكن كتابة القانون كالتالي:
م = ق × ع
حيث إن:
- م: مساحة متوازي الأضلاع
- ق: طول القاعدة
- ع: طول الارتفاع المتعلق بتلك القاعدة
بالرموز اللاتينية:
$$A = b \times h$$
حيث:
- A: مساحة متوازي الأضلاع.
- b: طول القاعدة (أي ضلع في المتوازي).
- h: الارتفاع العمودي على هذه القاعدة.
الارتفاع (h) هو المسافة العمودية بين الضلع الذي اخترته كقاعدة والضلع المقابل له. من المهم جدًا أن يكون الارتفاع عموديًا على القاعدة.
تمرين
إذا كان لدينا متوازي أضلاع طول قاعدته (b) يساوي 10 سم وارتفاعه (h) يساوي 5 سم، فما هي مساحته؟
الحل:
$$A = b \times h = 10 \times 5 = 50\text{ سم}^2$$
حساب مساحة متوازي الأضلاع باستخدام أطوال ضلعين والزاوية بينهما
يمكننا حساب مساحة متوازي الأضلاع بمعرفة أطوال ضلعين متجاورين والزاوية المحصورة بينهما. هذه الطريقة مفيدة عندما لا يكون الارتفاع معلومًا.
مساحة متوازي الأضلاع = (الضلع الأول) × (الضلع الثاني) × جيب(الزاوية)
بالرموز الرياضية:
$$A = a \times b \times \sin(\theta)$$
حيث:
- A: مساحة متوازي الأضلاع.
- a, b: طولا ضلعين متجاورين.
- θ: قياس الزاوية المحصورة بين الضلعين.
مثال: لدينا متوازي أضلاع فيه طول ضلعين متجاورين هما 8 سم و 12 سم، والزاوية المحصورة بينهما 30 درجة. أوجد مساحته.
الحل:
$$A = a \times b \times \sin(\theta)$$
$$A = 8 \times 12 \times \sin(30^\circ)$$
$$A = 96 \times 0.5 = 48\text{ سم}^2$$
مساحة متوازي الأضلاع باستخدام الأقطار والزاوية بينهما
يمكن حساب مساحة متوازي الأضلاع إذا كانت أطوال قطريه والزاوية المحصورة بينهما معلومة.
مساحة متوازي الأضلاع = ½ × (القطر الأول) × (القطر الثاني) × جيب(الزاوية)
وبالتالي يكون القانون:
$$A = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$$
حيث إن:
- d1, d2: طولا القطرين.
- α: قياس الزاوية المحصورة بين القطرين.
مثال: متوازي أضلاع أطوال أقطاره 6 سم و 8 سم، والزاوية بينهما 30 درجة. أوجد مساحته.
الحل:
$$A = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$$
$$A = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \times \sin(30^\circ)$$
$$A = \frac{1}{2} \times 48 \times 0.5 = 12\text{ سم}^2$$
حساب مساحة متوازي الأضلاع باستخدام الإحداثيات
إذا كانت إحداثيات رؤوس متوازي الأضلاع معلومة، أي أن الشكل مرسوم في محوري الأحداثيات x, y ولدينا إحداثيات الرؤوس الأربعة له, يمكن حساب مساحته باستخدام المحددات أو صيغة “Shoelace”.
لنفترض أن إحداثيات رؤوس متوازي الأضلاع هي: (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4).
بالتالي يكون القانون:
المساحة = القيمة المطلقة لـ ((x1y2 + x2y3 + x3y4 + x4y1) – (y1x2 + y2x3 + y3x4 + y4x1)) ÷ 2
مثال: أوجد مساحة متوازي أضلاع رؤوسه (0,0), (5,0), (6,3), (1,3).
الحل:
$$A = \frac{1}{2} \times | (0 \times 0 + 5 \times 3 + 6 \times 3 + 1 \times 0) – (0 \times 5 + 0 \times 6 + 3 \times 1 + 3 \times 0) |$$
$$A = \frac{1}{2} \times | (0 + 15 + 18 + 0) – (0 + 0 + 3 + 0) |$$
$$A = \frac{1}{2} \times | 33 – 3 | = \frac{1}{2} \times 30 = 15\text{ وحدة مربعة}$$
تمارين حساب مساحة متوازي الأضلاع
التمرين الأول
تاجر أقمشة لديه سجادة موضحة في الشكل. فيها شكل متوازي أضلاع باللون الأحمر ويريد حساب مساحته.
الحل: لقياس المساحة قام بائع الأقمشة بحساب إحدى طولي القطعة (وهو يمثل الارتفاع) وطول الجزء السفلي من متوازي الأضلاع (القاعدة). ثم قام بتطبيق القانون.
م = ق × ع
م = 5 × 1.3 = 6.5 متر مربع هي مساحة القطعة حمراء اللون الممثلة لمتوازي الاضلاع.
التمرين الثاني
أوجد مساحة متوازي الأضلاع الممثل في الشكل التالي:
الحل: نلاحظ أن المستقيم الذي طوله 6 سم يمثل الارتفاع بالقاعدة التي طولها 3.5 سم. حيث قمنا بتمديد القاعدة ثم رسم الارتفاع من الرأس إلى القاعدة بشكل عامودي. إذن لدينا: القاعدة = 3.5 سم, الارتفاع = 6 سم. وبالتالي يمكننا تطبيق القانون:
م = ق × ع = 3.5 × 6 = 21 سم2
